基于非均匀L1格式和谱元法的时间分数阶扩散方程高效数值算法研究

针对时间分数阶扩散方程（Caputo导数阶数ν∈(0,1)）初始弱奇异性导致的数值求解难题，研究人员提出了一种结合非均匀L1时间离散和谱元空间离散的高效算法。该方案通过分级网格处理时间方向奇异性，利用谱元法实现空间高精度逼近，严格证明了算法的无条件稳定性和收敛性，为分数阶模型的实际应用提供了可靠计算工具。

　　

分数阶微积分因其在描述材料记忆效应、生物反常扩散等现象中的独特优势，已成为数学物理交叉领域的研究热点。其中，时间分数阶扩散方程（Time-fractional diffusion equation, TFDE）作为经典扩散方程的自然延伸，其Caputo型时间导数项能更精确刻画具有时间非局部特性的扩散过程。然而，这类方程的解在初始时刻往往存在弱奇异性（Weak singularity），导致传统均匀网格下的数值方法精度骤降，成为制约其工程应用的瓶颈问题。

针对这一挑战，中国的研究团队创新性地将非均匀L1（Nonuniform L1）时间离散与谱元法（Spectral element method, SEM）空间离散相结合，构建了高效数值求解框架。该工作发表在《Mathematics and Computers in Simulation》上，通过理论证明和数值实验双重验证，为处理分数阶方程初始奇异性问题提供了新思路。

研究采用三个关键技术：1）时间离散使用基于分级网格（Graded meshes）的L1公式，通过调整网格密度集中捕捉初始时刻的奇异行为；2）空间离散采用SEM，结合Legendre多项式基函数实现单元内高阶逼近；3）建立混合范数误差分析框架，严格证明算法在最大范数下的2-ν阶时间收敛性和指数级空间收敛性。

非均匀L1/谱元算法构建
通过将计算域Ω=(a,b)划分为M个子区间，每个子区间采用N_i
阶Legendre多项式逼近，构造满足齐次Dirichlet边条件的谱元空间V^0,1
_N
(Ω_h
)。时间方向采用变步长离散，在t_n
=(n/N)^r
T（r≥1）的网格上建立L1-Caputo差分格式，最终得到全离散方程组。

稳定性与收敛性证明
通过离散分数阶Gronwall不等式和谱元投影误差分析，证明当网格参数r≥(2-ν)/ν时，算法具有无条件稳定性，且时间、空间误差分别达到O(N^-(2-ν)
)和O(e^-cN
)（c>0）。特别地，选取r=2时可在L^∞
范数下获得最优收敛阶。

数值实验验证
以解析解u(x,t)=t^ν
sin(x)为例，当ν=0.3时均匀网格L1公式仅能获得0.3阶收敛，而分级网格（r=2）实现1.7阶收敛；空间方向采用N=5的SEM即可达到10^-10
量级精度，显著优于有限元法。

该研究通过严格的数学分析和数值验证，确立了非均匀L1/SEM算法在处理具有初始奇异性的TFDE中的优越性。方法创新性地将时间自适应离散与空间高阶逼近相结合，不仅为分数阶微分方程数值解提供了新范式，其分析框架还可推广至非线性或高维情形。研究结果对核废料迁移模拟、生物组织渗透研究等需要高精度建模的领域具有重要应用价值。