静态欧拉-伯努利梁接触力问题的解存在性、唯一性及数值模拟研究

本文针对涉及接触力的欧拉-伯努利四阶边值问题（BVP），研究了其解的存在性、唯一性及数值求解方法。研究人员通过有限差分法对空间域进行离散化，证明了离散问题与连续问题解的唯一性，并针对分段线性右端函数提出基于不动点迭代的绝对值方程求解方法。该研究为生物力学（如声带接触模型）及工程结构分析提供了理论保障与高效算法，填补了非光滑系统数学严谨性研究的空白。

　　

在生物力学和工程领域，弹性结构接触力的建模一直是重要课题。以声带振动为例，发声过程中左右声带（VFs）的周期性碰撞会产生非光滑接触力，传统数值方法常因忽略数学严谨性导致结果可靠性存疑。类似问题也存在于微机电开关和弹性地基梁等场景。针对这一挑战，Mohamed A. Serry等研究者通过数学建模与数值分析相结合，系统研究了静态欧拉-伯努利梁在接触力作用下的四阶边值问题。

研究团队采用有限差分法（FDM）对空间域进行离散化，结合格林函数积分变换，将连续问题转化为离散代数方程。针对分段线性接触力模型，创新性地将问题转化为绝对值方程（AVE），并证明不动点迭代法的全局收敛性。通过理论分析与数值实验相结合，验证了离散解向连续解的收敛性。

第四阶边值问题
建立形如w⁽⁴⁾
=f(x,w)的四阶微分方程模型，其中f(x,w)为关于w单调递减的有界函数，边界条件指定位移w和曲率w^′′
。该框架适用于描述声带对称接触等生物力学场景。

存在性与唯一性
通过积分方程重构和极值原理，证明连续BVP解的存在性；利用单调算子理论严格推导解的唯一性条件。离散系统中，通过矩阵正定性保证有限差分格式解的唯一存在。

数值解与绝对值方程
当f为分段线性函数时，离散方程退化为AVE形式：(A+h⁴
K/2)Z=B?-AG-(h⁴
K/2)|Z|。通过变量替换和符号函数性质，构建收敛性达1/2的不动点迭代格式，其计算效率通过数值算例验证。

结论与意义
该研究首次为欧拉-伯努利梁接触问题建立了完整的数学理论框架，填补了非光滑系统分析的理论空白。提出的数值方法为声带生物力学、微机电系统等工程问题提供了可靠算法，其收敛性证明超越了传统经验验证模式。研究成果发表于《Mathematics and Computers in Simulation》，为跨学科问题研究提供了数学严谨性与计算实用性的双重范式。