混合型核Volterra积分方程组的超收敛Jacobi谱Galerkin方法研究

本研究针对含弱奇异(WS)和平滑混合核的线性Volterra积分方程组(SLVIEs)，创新性地提出Jacobi谱Galerkin(JSG)和迭代Jacobi谱Galerkin(IJSG)方法。通过建立解的存在唯一性证明，系统分析了光滑与非光滑解情况下的收敛性，首次实现非光滑解的超收敛结果(O(N-(q+1-μ) ))，为流行病学、金融建模等领域的积分方程求解提供高效数值工具。

　　

在数学建模与工程计算领域，Volterra积分方程组(SLVIEs)是描述具有记忆效应系统的核心工具，从流行病传播预测到金融市场波动分析都可见其身影。然而当方程同时包含弱奇异(WS)核(t-σ)^-μ
和平滑核时，传统数值方法面临收敛速度骤降、计算稳定性差等瓶颈。尤其在实际应用中，解函数常在初始点附近呈现非光滑特性，使得常规谱方法精度断崖式下跌。这一困境严重制约着积分方程在疾病传播动力学等关键领域的精准预测能力。

针对这一挑战，印度理工学院坎普尔分校的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表突破性成果。通过创新性地融合Jacobi正交多项式与Galerkin投影框架，首次构建出适用于混合核SLVIEs的Jacobi谱Galerkin(JSG)方法及其迭代版本(IJSG)。研究不仅严格证明了方法在Banach空间L^∞
[0,1]中的适定性，更通过精细的误差分析揭示：对于光滑解，IJSG在无穷范数下可达O(N^-2q
)的超收敛阶；即使对非光滑解，仍保持O(N^-(1-μ)
)的稳定收敛。这一发现为处理现实世界中广泛存在的奇异-光滑混合系统提供了理论保障和实用工具。

关键技术包括：1) 基于Jacobi多项式构建有限维逼近空间X_N
；2) 通过变量替换t=T(1+ω)/2将积分区间标准化；3) 建立投影算子P_N
^α,γ
的误差估计；4) 对混合核进行分段处理，其中1≤k≤l为平滑核，l≤k≤m为WS核；5) 采用迭代Galerkin(IG)技术提升收敛阶。

【JSG方法构建】
通过引入参数化变换ω=2t/T-1将原方程转化为[-1,1]区间，利用Jacobi正交基函数P_n
^(α,γ)
(ω)构建离散格式。关键创新在于对混合核的差异化处理：平滑部分直接采用Galerkin投影，而WS部分通过加权正交化消除奇异性影响。

【收敛性证明】
理论分析揭示：当解y(t)∈C^q
时，JSG在L²
范数下收敛阶为O(N^-q
)，而IJSG可达O(N^-2q
)；对于非光滑解，收敛速率仅与奇异性指数μ相关，与多项式次数N形成稳定关系。这解释了为何传统方法在t→0时失效，而新方法仍保持稳健。

【数值验证】
选取Λ(ω)=|ω|^β
(β=0.3)作为测试函数，当N=16时IJSG的无穷范数误差较JSG降低两个数量级。特别值得注意的是，在μ=0.5的典型WS问题中，IJSG实现了理论预测的O(N^-1.5
)超收敛速率。

该研究突破性地统一了混合核积分方程的数值处理框架，其意义体现在：1) 首次给出非光滑解的超收敛严格证明；2) 通过迭代技术使收敛阶翻倍；3) 为流行病学中的接触记忆模型、金融衍生品定价等实际问题提供可靠算法。未来可进一步拓展至非线性Volterra-Fredholm耦合系统，以及在生物医学图像重建中的应用。