耗散-保守分数阶系统中动态稳定性的新方法及其在复杂解分析中的应用

针对分数阶系统中复杂解（如非周期解、记忆混沌等）稳定性分析的难题，Bichitra Kumar Lenka团队提出了一种创新的动态稳定性方法。通过构建非负状态动态方程和能量函数，证明了系统解的有界性，并以Thomas系统和Lorenz-like系统为例验证了方法的有效性。该研究突破了传统Lyapunov直接法和比较法的局限，为分数阶非线性动力学中复杂吸引子的稳定性分析提供了新范式。

　　

在非线性科学领域，分数阶系统因其能描述具有记忆效应的复杂现象而备受关注。然而，传统分析方法如分数阶Lyapunov直接法和比较法，仅适用于恒定平衡解的稳定性分析，对非周期解、记忆混沌等复杂解的稳定性束手无策。这一局限性严重阻碍了对分数阶系统中丰富动力学行为的理解。更棘手的是，当系统同时具有耗散和保守特性时，其动力学行为会展现出更为复杂的特征——耗散性使系统相空间体积收缩，而保守性则保持体积不变，这种矛盾统一体使得稳定性分析变得异常困难。

印度理工学院（印度矿业学院）Dhanbad的Bichitra Kumar Lenka和Ranjit Kumar Upadhyay团队在《Nonlinear Science》发表的研究，开创性地提出了"动态稳定性"方法。他们构建了一个状态恒为非负的动态方程，通过能量函数证明：当系统解满足特定不等式时必然有界。该方法成功应用于两类典型系统：具有正弦非线性的分数阶Thomas系统和分数阶Lorenz-like系统。当参数取特定值（如t_?
=-25，δ₁
=0.997等）时，这些系统会产生记忆混沌吸引子，而新方法首次从理论上证明了这些复杂解的动态稳定性。

研究采用的关键技术包括：分数阶微积分理论框架（Riemann-Liouville积分和Caputo导数）、动态方程构建技术、能量函数分析法，以及基于作者前期开发的数值算法（用于求解具有随机初始时间的分数阶系统）。

【Section snippets】部分揭示了传统方法的不足：分数阶Lyapunov直接法仅适用于平衡解，而动态稳定性方法通过跟踪系统发散量（divergence）构建γ∈(0,1]阶动态方程，实现了对邻近解的全程追踪。

【Dynamic stability method】部分提出核心创新：在紧致域D₁
?Rⁿ
内，通过构造特殊动态方程确保解始终停留在D₂
?Rⁿ
内。该方法突破了"零初始时间"限制，适用于任意初始时间t_?
（如t_?
=25或t_?
=-25）的系统。

【Applications】部分展示了两个突破性案例：1）分数阶Thomas系统在参数a=0.18、δ₁
=0.997时产生记忆混沌，新方法证明其有界性；2）分数阶Lorenz-like系统在a=0.25、k=1时出现记忆混沌吸引子，动态方程验证了其稳定性。这些案例证实了方法对全局Lipschitz非线性和随机初始时间系统的普适性。

【Conclusions】部分强调：该研究首次解决了耗散-保守分数阶系统中复杂解的稳定性判定难题。所提出的动态稳定性框架为分析记忆混沌、隐藏吸引体等非周期解提供了通用工具，对理解暗物质-暗能量相互作用等复杂系统的动力学具有深远意义。未来，该方法可拓展至更多分数阶模型，为非线性科学开辟新的研究维度。