综述：生物学与生命科学中的非局部模型：来源、发展与应用

这篇综述系统阐述了非局部模型（Nonlocal Models）在生物系统（如细胞通讯、神经网络、疾病传播等）中的关键作用，涵盖从经典反应-扩散方程（RD）到分数阶模型（FODE）的理论框架，并探讨其在生态动力学、肿瘤建模（CSC）、生物传感（如压电材料）等领域的创新应用。文章特别强调了非局部性（Nonlocality）如何突破局部模型局限，为多尺度生物现象（如Peridynamics理论描述的骨断裂）提供更精准的数学描述。

　　

生命科学中的非局部模型：跨越尺度的数学革命

2.1 均质与非均质系统

从图灵（Turing）提出的形态发生理论出发，经典反应-扩散方程（RD）通过扩散项（如Fick定律）与非线性反应项（如质量作用定律）的耦合，解释了斑马条纹等生物图案的形成。但传统RD模型（如Fisher-KPP方程）仅能描述短程相互作用，而真实生物系统（如细胞群体感知化学信号）往往涉及长程交互——这正是非局部模型的用武之地。通过引入卷积算子（如???u），模型可捕捉个体在空间域Ω中跨越多个细胞直径的相互作用，例如植物根系竞争养分或肿瘤细胞通过filopodia远程探测微环境。

2.2 单物种群体的非局部交互

以Fisher-KPP方程的修正为例：当资源消耗不仅依赖局部密度u(x,t)，还受邻域加权平均（∫?(x-y)u(y,t)dy）影响时，系统可能产生传统模型无法预测的图灵斑图。这种非局部竞争机制在昆虫扩散（如风力传播种子）和癌症干细胞（CSC）迁移中尤为关键——例如，模型(3)中卷积项???uⁿ
可量化细胞群体对远处资源的掠夺效应。

2.3 时空非局部性

Britton模型(5)通过双重卷积ψ????u整合历史状态与空间关联，模拟了流行病传播中潜伏期（如COVID-19的冷链传播）或生态系统的记忆效应（如植被对过去干旱的响应）。这种时空耦合在脑动力学模型中尤为重要，例如癫痫发作时神经元集群的跨脑区同步活动。

2.4 细胞生物学与基因组学的非局部性

肿瘤异质性模型(6)通过非局部算子ψ(x,y,p)描述癌症干细胞（CSC）与普通肿瘤细胞的远程互作，而CRISPR/Cas9基因编辑中的脱靶效应也需非局部模型量化DNA断裂的远距影响。特别地，细胞力学中的分数阶微积分（如Caputo导数^C
D^α
u）能精准刻画细胞膜的粘弹性记忆（记忆核t^-α
/Γ(1-α)）。

2.7 非局部流行病学模型

从Kermack-McKendrick的经典SIR模型(11)到COVID-19空间模型(13)，非局部项（如∫β_e
(x,y)E(y,t)dy）刻画了跨区域传播的接触网络。疫苗覆盖率η(x)的空间异质性分析揭示：即便在δ_e
(x)（病毒环境存活率）高的地区，非局部扩散算子D[·]仍可预测疫情热点的迁移路径。

2.11 模式形成的物理机制

在捕食者-猎物系统(21)中，非局部竞争（αu(1-???u/κ)）会诱发螺旋波等复杂斑图，而三物种食物链模型(22)的“P型非局部性”（如ψ??w）解释了为何高迁移性中间捕食者能稳定生态系统。这些发现为生态保护（如非洲草原的植被-食草动物-狮子级联）提供了量化工具。

前沿展望

从量子点生物传感器（非局部介电响应）到皮质骨愈合（Peridynamics模拟），非局部模型正推动生命科学进入多尺度建模的新纪元。未来挑战包括：开发更高效的数值算法（如快速傅里叶变换加速卷积计算），以及整合单细胞测序数据构建个性化肿瘤生长预测模型。