基于Bernoulli多项式的Galerkin算法在时间分数阶扩散波方程中的高精度求解研究

本研究针对时间分数阶扩散波方程(TFDWE)求解难题，创新性地提出采用Bernoulli多项式改进的Galerkin算法。研究人员通过结合Caputo分数阶导数和半离散化方法，将控制方程转化为稀疏线性系统，显著提升计算效率。数值实验验证该方法在分数阶波动方程和四阶扩散波方程中具有误差小、稳定性强的优势，为模拟具有记忆效应和反常扩散特性的复杂物理系统提供了新工具。

　　

在材料科学和生物工程等领域，传统整数阶模型难以准确描述具有记忆效应和反常扩散特性的复杂系统行为。时间分数阶微分方程(TFDWE)虽能更好刻画这类现象，但因其非局部和非线性特性，解析解往往难以获得。现有数值方法如有限差分法和有限元法在处理高维问题时面临计算复杂度高、精度不足等挑战，特别是当方程包含四阶导数或非光滑数据时，传统算法的稳定性显著下降。

针对这一难题，研究人员开发了基于Bernoulli多项式的改进Galerkin算法。该方法创新性地利用Bernoulli多项式作为基函数，其封闭表达式和递推关系便于数值实现，相比Chebyshev和Legendre多项式能更高效逼近分数阶解。通过将Caputo分数阶导数与半离散化方法结合，成功将控制方程转化为稀疏线性系统，显著降低计算复杂度。数值实验采用Mathematica 9平台，在Intel Core i3-2350M处理器上完成验证。

分数阶微积分定义
研究首先明确Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo导数两种定义。其中Caputo导数因其在初值问题中的物理意义明确被采用，其性质通过Gamma函数实现规范化表达。

含阻尼效应的分数阶波动方程
针对1<δ≤2的分数阶波动方程，算法成功处理了包含阻尼项α?u>_N
，将方程转化为矩阵形式(B??D_δ
+A??E)C=??求解，验证了δ=3/2时的解析解一致性。

四阶扩散波方程
扩展应用于含四阶空间导数的方程?^δ
U/?T^δ
+?⁴
U/???⁴
=f。通过设计双重约束基函数S_r
(??)=??⁴
(L-??)⁴
B_r
^L
(??)，确保在边界处函数值和二阶导数均为零，有效处理了高阶导数带来的计算稳定性问题。

非齐次条件处理
提出将非齐次初边值条件转化为齐次问题的通用方法，通过函数分解技术保持算法框架的统一性，扩展了方法的应用范围。

收敛性分析
通过L_∞
范数误差估计证明算法收敛性，在示例7.1中获得与精确解的高度吻合，最大绝对误差控制在10^-10
量级，显著优于传统L1方法。

该研究通过理论推导和数值验证，证实改进Galerkin算法在求解TFDWE时兼具高精度和计算效率优势。特别值得注意的是，Bernoulli多项式基函数产生的稀疏系统矩阵，相比传统谱方法降低约40%的计算量。尽管在非光滑解场景存在局限，但该方法为模拟生物组织传质、黏弹性材料波动等实际问题提供了新思路。作者R.M. Hafez等人在讨论中指出，未来工作将聚焦于算法在非线性分数阶系统和多维问题中的扩展应用。