非线性耦合捕食者-猎物方程的线性化变步长BDF2非协调虚拟元方法无条件误差估计

本研究针对非线性耦合捕食者-猎物方程(NCPPEs)的数值求解难题，提出基于非协调虚拟元方法(NVEM)和线性化变步长BDF2时间离散的创新算法。通过离散正交卷积(DOC)和离散互补卷积(DCC)核技术，实现了不依赖网格比条件的L∞ 范数有界性证明，获得无条件最优误差估计。该研究为生态种群动力学模拟提供了高精度、高灵活性的计算工具，可推广至其他非线性问题求解。

　　

生态系统中捕食者与猎物的相互作用是维持生物多样性的核心机制，其动态过程常通过Lotka-Volterra模型描述。这类非线性耦合偏微分方程在流行病学、化学反应动力学等领域也有重要应用。然而，传统数值方法在处理复杂几何域和非线性项时面临严峻挑战：有限元方法(FEM)对网格质量要求苛刻，而常规时间离散格式需要严格的时间步长限制，导致计算效率低下。

针对这些瓶颈问题，研究人员开展了一项创新性研究。他们首次将非协调虚拟元方法(Nonconforming Virtual Element Method, NVEM)与线性化变步长两步向后微分公式(BDF2)相结合，构建了适用于一般多边形网格的数值求解框架。该方法突破传统有限元对单元形状的限制，通过虚拟基函数构造离散空间，无需显式计算基函数即可处理复杂几何。时间离散采用自适应变步长策略，相邻步长比ρ_k
≤4.8645条件下保持稳定，显著提升计算效率。

关键技术方法包括：(1)NVEM空间离散，支持任意多边形/多面体网格；(2)基于DOC和DCC核的时间离散分析技术；(3)时间-空间误差分裂技术消除网格比限制；(4)投影算子理论证明解的有界性。研究对象为Holling-III型响应函数的捕食者-猎物系统，控制方程包含u²
非线性项和v/(1+κ₃
v)分数型非线性项。

研究结果部分，"Some preliminary notations and estimates"章节建立了变步长BDF2格式的稳定性条件，证明当相邻步长比ρ_k
≤4.8645时，离散系统保持能量稳定。"Fully discrete NVEMs"部分给出了空间离散的数学表述，其中m_h
(·,·)和a_h
(·,·)分别表示非协调虚拟元的质量矩阵和刚度矩阵，Π_k
^0,K
为局部L²
投影算子。

"Error analysis"章节的创新性体现在：通过分解误差为时间分量‖uⁿ
-Uⁿ
‖_L²

和空间分量‖Uⁿ
-U_h
ⁿ
‖_L²

分别处理，结合离散卷积技巧，在不需要CFL条件约束下，证明了数值解在L^∞
范数下的有界性。"Unconditional optimal error estimates"部分的定理5.1给出关键结论：当解满足u(·,t),v(·,t)∈H₀
¹
(Ω)∩H^r+1
(Ω)时，误差界为C(h^r+1
+τ²
)，其中h为空间步长，τ为时间步长，r为多项式次数。

数值实验部分验证理论结果：在Ω=(0,1)²
区域，取Holling-III型响应函数f(u)=u²
/(1+u²
)，精确解设为t³
(1-x)sin(x)(1-y)sin(y)。结果显示该方法在不同网格类型（包括随机多边形网格）下均保持二阶收敛精度，证实无条件稳定性。

这项研究的意义在于：一方面，NVEM突破传统有限元对网格形状的限制，为复杂几何域问题提供新解法；另一方面，变步长BDF2格式与误差分析技术相结合，实现计算效率与精度的平衡。特别地，时间-空间误差分裂技术的应用，使算法摆脱网格比条件束缚，为大规模生态模拟提供可能。论文发表在《Mathematics and Computers in Simulation》，其方法论不仅适用于生态模型，还可推广至其他非线性耦合系统，具有广泛的科学计算应用前景。