基于Gegenbauer多项式拟合技术的五阶双导数多步配置法在Duffing问题中的应用研究

研究人员针对二阶常微分方程周期解的高精度数值求解问题，开发了基于Gegenbauer多项式的五阶双导数线性多步配置法（TDLMM5），并通过三角拟合技术（TFTDLMM5）提升振荡问题的计算精度。该研究通过稳定性分析和数值实验验证了方法的优越性，成功应用于Duffing振动模型，为工程和物理领域的周期系统模拟提供了高效工具。

　　

在工程和物理领域，二阶常微分方程（ODEs）的数值求解是模拟振动电路、阻尼振荡等周期性现象的核心技术。然而，传统方法在处理高频振荡或复杂边界条件时，常面临精度不足或稳定性差的挑战。特别是对于Duffing问题这类典型的非线性振动系统，现有算法的效率和适应性亟待提升。为此，马来西亚国立大学的研究团队提出了一种创新性的五阶双导数线性多步配置法（TDLMM5），结合Gegenbauer多项式与三角拟合技术，显著提升了周期解的数值模拟精度，相关成果发表于《Mathematics and Computers in Simulation》。

研究团队首先构建了基于Gegenbauer多项式的双导数多步法框架，通过配置技术将微分方程在网格点x_k
和x_k+1
处离散化，并引入二阶导数f和三级导数g的评估项增强精度。随后采用三角拟合技术，将解函数u(t)表示为sin(λt)和cos(λt)的线性组合，使系数具有频率依赖性（TFTDLMM5）。关键方法还包括稳定性分析中的边界轨迹法，以及通过Pleides星座问题和Duffing振子等经典模型进行数值验证。

研究结果显示，TFTDLMM5在阶数分析中达到五阶精度，其稳定性区域显著优于传统线性多步法。通过对比实验，该方法在求解u″(t)=f(t,u(t))型方程时，最大全局误差降低至10^-8
量级，较同类方法提升2个数量级。在Duffing问题中，即使存在强非线性阻尼，该方法仍能准确捕捉极限环振荡特性。讨论部分指出，Gegenbauer多项式的权重参数α=1/4优化了振荡问题的适应性，而双导数项的引入使绝对稳定性区域扩大37%。

该研究的突破性在于：首次将双导数项与三角拟合技术结合于多步配置法，既保留了显式方法的高效性，又通过频率自适应系数克服了刚性系统的计算瓶颈。这不仅为航天器轨道计算、量子力学势场模拟等实际问题提供了新工具，还为发展高阶ODE求解器奠定了理论基础。未来工作可探索该方法在分数阶微分方程或随机振动系统中的应用潜力。