可饱和非线性介质中三类孤子（peakon-like/bright/dark peakon）的稳定性分析与解析解构建

本研究针对饱和非线性光学介质中光脉冲传播的建模难题，通过非线性薛定谔方程（NLSE）的Madelung变换，系统解析了三类孤子解（peakon-like、亮孤子、暗peakon）的存在条件与稳定性。研究人员创新性地结合Vakhitov-Kolokolov稳定性判据，揭示了参数β（折射率系数）和γ（非线性强度）对孤子动力学的影响，为光孤子通信和光子器件设计提供了理论依据。

　　

在非线性光学领域，光脉冲在可饱和非线性介质中的传播行为一直是研究热点。这类介质（如光折变晶体）在特定光强下会出现非线性饱和效应，传统立方非线性模型无法准确描述其动力学特性。尽管前人通过非线性薛定谔方程（Nonlinear Schr?dinger Equation, NLSE）已取得部分成果，但对饱和非线性指数为2的体系仍缺乏系统性解析，特别是对peakon-like（类峰值孤子）等新型解的稳定性认知存在空白。

中国的研究团队通过数学建模与解析方法，在《Mathematics and Computers in Simulation》发表的研究中取得了突破。他们针对具有饱和非线性函数F(|q|²
)=β(1-(1+γ|q|²
)^-2
)的NLSE模型，采用Madelung变换将复场振幅q(x,t)转化为实振幅ρ(z)的动力学方程，其中z=x-ct为运动坐标系。通过判别式Δ=0的条件分类讨论，首次完整构建了三类解析解：具有非平滑峰值的peakon-like解、传统亮孤子（bright soliton）以及新型暗peakon（dark peakon）。

关键技术包括：1）通过Madelung变换实现NLSE的变量分离；2）利用Vakhitov-Kolokolov准则（该判据通过线性化谱分析判断孤子稳定性）进行系统性稳定性验证；3）针对Δ=0的退化情形，分Case 1（γC₁
+β=0）和Case 2（h=0）两类参数空间开展解析求解。

主要研究结果

1. Stationary solutions in the general form
   通过引入波数k和频率ω的相位因子，将NLSE转化为关于ρ(z)的非线性常微分方程。关键推导出方程(6)的通用形式，为后续分类讨论奠定基础。

2. Soliton solutions with Δ=0
   在判别式消失条件下：

• Case 1（前人未讨论情形）：通过参数化方法获得亮孤子解析解，其存在性受γ与β的比值严格约束。
• Case 2：首次发现具有指数衰减特性的peakon-like解和反相位分布的dark peakon，其稳定性通过Vakhitov-Kolokolov准则验证。

1. Conclusions
   研究不仅完善了饱和非线性指数为2的NLSE解析理论，更通过参数敏感性分析指出：β（与介质折射率相关）控制孤子强度分布，而γ（非线性系数）决定孤子类型的转换阈值。这对光折变晶体中的孤子操控实验具有直接指导价值。

该研究的创新性体现在：1）首次系统解决饱和非线性介质中三类孤子的解析解完备性问题；2）通过稳定性理论证明dark peakon在特定参数区间的鲁棒性，为新型光孤子器件开发提供可能；3）建立的数学框架可推广至其他饱和指数体系。正如通讯作者Jingsong He强调的，这项工作"为理解非线性光学中的自陷现象提供了普适性工具"。研究获得国家自然科学基金（12471239）和深圳市稳定支持计划（20220809163103001）的资助。