基于Koopman算子的非线性系统预测跟踪控制：数据驱动模型与约束处理的理论框架

本研究针对非线性系统跟踪控制中数据驱动模型约束处理的挑战，提出基于Koopman算子的预测跟踪控制框架(KPTC)，通过神经网络构建提升空间线性模型，结合约束紧缩方法保证递归可行性，并利用双重Lyapunov函数证明闭环系统的输入-状态稳定性，为复杂系统控制提供了兼具数据驱动优势与理论保证的新方法。

　　

在控制工程领域，非线性系统的精确跟踪控制一直是个极具挑战性的课题。传统基于物理模型的方法在面对复杂非线性特性时往往捉襟见肘，而数据驱动方法虽然展现出强大潜力，却长期受限于理论保证的缺失。这种矛盾在自动驾驶、机器人等实时性要求高的场景中尤为突出——我们既需要神经网络等数据驱动工具强大的非线性建模能力，又必须确保控制系统满足严格的稳定性和约束条件。

针对这一核心矛盾，国内研究人员在《Engineering Applications of Artificial Intelligence》发表了一项创新研究。他们巧妙地将Koopman算子理论与模型预测控制(MPC)框架相结合，提出了名为KPTC（Koopman-based Predictive Tracking Control）的新型控制架构。这项工作的精妙之处在于，通过深度神经网络将非线性系统"提升"到高维线性空间，既保留了数据驱动方法的灵活性，又能在提升空间应用成熟的线性控制理论。

研究团队采用了三个关键技术方法：首先构建基于神经网络的Koopman提升模型，将非线性系统转化为高维线性表示；其次设计约束紧缩机制处理模型失配，保证状态和输入约束的满足；最后建立双重Lyapunov函数分析框架，分别针对最优可达稳态输出和标称系统进行稳定性证明。实验验证部分特别选取了自主地面车辆(AGV)的跟踪控制作为典型应用场景。

【Koopman线性模型构建】研究首先通过神经网络学习状态空间的非线性提升映射ψ(x)及其逆映射，将原系统转化为提升空间中的线性模型z(k+1)=Az(k)+Bu(k)。这种"深度Koopman"方法突破了传统线性化方法的局部性限制，其中编码器-解码器结构采用多层感知机，中间嵌入无偏置的线性层以保证模型结构。

【约束紧缩设计】为处理提升模型与原系统的动态误差，研究提出创新的迭代约束紧缩策略。通过Minkowski和与Pontryagin差运算，将原始约束集X,U逐步紧缩为X?(j),U?(j)，并证明在有限预测时域N内，这些紧缩集合始终保持非空性，从而确保优化问题的递归可行性。

【稳定性证明】通过构造V₁和V₂两个Lyapunov函数，分别分析系统相对于最优稳态和标称稳态的收敛行为。其中关键的技术突破在于建立了β_u≤(1+√5)/2λ(Q)的充分条件，保证闭环系统输入-状态稳定(ISS)。该证明巧妙利用了提升空间的线性特性，同时考虑了原始非线性系统的动态误差边界。

【AGV应用验证】在自主地面车辆的跟踪控制实验中，KPTC展现出优于传统方法的跟踪精度和约束满足能力。特别在急转弯等强非线性工况下，基于Koopman的提升模型准确预测了车辆动力学，而约束紧缩机制有效防止了轮胎力饱和等物理限制的违反。

这项研究的理论价值体现在三个方面：其一，建立了数据驱动控制与经典稳定性理论之间的桥梁，首次在Koopman框架下实现了严格的约束保证；其二，提出的双重Lyapunov分析方法为处理模型失配提供了新思路；其三，约束紧缩策略的计算效率使其适合实时应用。工程意义上，KPTC框架为自动驾驶、机器人等安全关键系统提供了新的控制范式，其结合数据驱动与模型保证的特点，恰好满足了智能系统在复杂环境中既需适应性又要可靠性的双重需求。

未来研究方向可能包括：提升函数的自适应选择机制、分布式KPTC框架设计，以及将该方法扩展到更广泛的非线性系统类别。这项工作的核心启示在于，通过恰当的数学框架，我们完全可以在享受数据驱动方法灵活性的同时，不放弃控制系统应有的严谨理论保证。