基于改进齐次平衡法(MHBM)的分数阶Burgers方程精确解研究：非线性波动力学与记忆效应分析

本文针对分数阶Burgers方程在湍流、激波等非线性流体动力学中的建模难题，提出改进齐次平衡法(MHBM)结合分数阶Riccati方程的新解析框架。通过构建二次多项式形式的分数阶Riccati方程，成功获得包含扭结-反扭结相互作用、振幅突变等复杂非线性波行为的闭式解。相比变分迭代法(VIM)、分数阶约化微分变换法(FRDTM)等传统方法，MHBM在收敛速度、非线性波建模精度方面展现出显著优势，为分数阶物理系统建模提供了高效工具。

　　

在流体动力学和生物传输等领域，描述湍流、激波等非线性现象的分数阶Burgers方程长期面临解析求解的挑战。传统数值方法难以捕捉分数阶导数特有的记忆效应和遗传特性，而现有解析方法如变分迭代法(VIM)、同伦摄动法(HPM)等在处理非线性项时存在收敛慢、精度不足等问题。这一困境促使研究者探索更高效的解析工具，以揭示分数阶系统中复杂的波动力学行为。

《Scientific African》刊载的研究通过改进齐次平衡法(MHBM)实现了突破。研究团队创新性地将分数阶Riccati方程与MHBM结合，构建了两类特殊形式的Riccati方程：一类是含三项的二次多项式(式4)，参数q(ξ)=-1、r(ξ)=2、s(ξ)=1；另一类是简化后的二次型(式24)，仅保留q(ξ)=-1和s(ξ)=1项。这种设计巧妙平衡了非线性项与分数阶导数项的复杂度。

关键技术包括：1) 采用Caputo分数阶导数定义处理初值问题；2) 通过波变换ξ=κx-δt^α/Γ(1+α)将方程转化为常微分形式；3) 设计变量替换v(ξ)=q^1/ρ(ξ)简化非线性项；4) 建立解的存在唯一性理论框架(定理1-2)。

【Preliminary results】部分严格证明了基于Caputo导数的分数阶Riccati方程解的存在唯一性。通过构造压缩映射H，推导出当h→∞时‖HQ-Hw‖<‖Q-w‖，确保了解的唯一性(式7-11)。

【Main results】部分展示了MHBM的应用成效。针对形如?^αq/?t^α-?²q/?x²-βq^ρ?q/?x=0的方程，通过假设解为v(ξ)=∑w_iQⁱ(ξ)，成功导出系数关系式(式33-37)。最终获得的精确解(式38)呈现典型的扭结波特征，其振幅变化受参数κ、β、δ的协同调控。数值模拟显示，当α=0.5时解在x=0附近发生陡峭转变(图1)，而多角度三维可视化(图2)揭示了解的空间演化规律。

这项研究的重要意义在于：1) 为分数阶非线性系统提供了新的解析工具；2) 揭示二次多项式型Riccati方程在平衡非线性项中的特殊作用；3) 通过严格的数学证明确保了解的可靠性；4) 所得扭结解为理解湍流中的间断现象提供了理论依据。未来工作可望将该方法推广到更广泛的分数阶偏微分方程体系，为复杂系统的建模与仿真开辟新途径。