线性非局部弹性理论中边界条件重构与核函数修正的数学基础及工程应用研究

本研究针对Eringen非局部弹性理论中因隐含边界条件导致的病态问题，创新性地提出核函数修正方法，通过重构本构边界条件(CBCs)建立适定性理论。研究证明修正后的Helmholtz核能保持积分算子的自伴随性，并实现微分与积分模型的等效性，为纳米器件力学分析提供了严格数学基础。

　　

在微纳尺度材料力学研究中，经典局部弹性理论面临根本性挑战——当特征长度接近材料微观结构尺寸时，应力-应变关系需考虑长程相互作用。Eringen提出的非局部弹性理论通过积分核函数描述这种非局部效应，但数十年来该理论始终被"悬臂梁悖论"所困扰：在某些边界条件下，非局部解竟与经典解完全一致。这一反常现象暴露了理论体系深层次的数学缺陷——隐含的本构边界条件(Constitutive Boundary Conditions, CBCs)导致问题适定性缺失。

中国某研究机构团队在《International Journal of Engineering Science》发表的研究，首次系统揭示了核函数中隐含CBCs是病态问题的根源。通过构建新型衰减函数K^?(x,t)，在保持算子自伴随性的前提下修正边界条件，成功将Fredholm第一类积分方程转化为适定问题。关键技术包括：1) Helmholtz核的谱分解技术；2) 自伴随算子特征函数展开；3) 边界层匹配的微扰分析；4) 有限域Green函数重构。

【边界条件重构的数学机制】
研究证明传统Helmholtz核K(x,t)=1/(2ε)exp(-|x-t|/ε)实为微分算子?=1-ε²d²/dx²的Green函数，但隐含非物理的CBCs：dK/dx(L,t)+ε^-1K(L,t)=0。通过引入修正项k₀(x,t)，新核函数K^?(x,t)满足工程可解释的边界约束，如悬臂梁自由端条件M(L)=0。

【双相模型的数学本质】
分析表明双相非局部模型(TPNM)实质是Fredholm第二类积分方程，其局部相ξ₁χ(x)用于吸收边界不匹配。研究给出严格证明：当ξ₁→0⁺时，TPNM解收敛于修正核函数的弱解。

【特征函数展开的收敛性】
通过求解特征值问题∫₀^LK^?(x,t)?_n(t)dt=λ_n²?_n(x)，发现首阶特征函数?₁(x)=(x-L)/ε恰为线性弯矩对应的曲率模式，这解释了"悖论"现象的数学本质——当外载与特征函数同构时，非局部解必然退化为经典解。

该研究建立了非局部弹性理论的适定性框架，其意义体现在：1) 为核函数选择提供数学准则，证明边界适应型核K^?优于传统Helmholtz核；2) 揭示TPNM中"边界层效应"的数学起源；3) 给出Eringen原始理论与微分模型等效的严格条件。这些发现为微机电系统(MEMS)的尺寸效应建模提供了可靠理论基础，特别是为纳米梁、纳米膜结构的非局部振动分析建立了严格数学框架。研究同时指出，在裂纹尖端等奇异性问题中，核函数必须考虑缺陷几何的显式修正，这为后续研究指明了方向。