分数阶动力学在细菌性疾病传播中的建模与分析：基于Caputo导数的HPGTM方法及应用

本文针对传统整数阶模型难以刻画细菌感染非线性动态的问题，提出基于Caputo分数阶导数的细菌传播动力学模型。研究者开发了同伦摄动广义变换法(HPGTM)，求解包含环境细菌密度(B)和消毒剂(Ch)的五维分数阶系统，推导出基本再生数R0B并证明当R0B<1时系统全局稳定。该研究为MRSA、结核病等细菌感染的防控提供了新的数学工具，发表于《Franklin Open》。

　　

细菌性疾病的传播机制一直是公共卫生领域的重大挑战。传统基于整数阶微积分的SIR模型虽然经典，却难以刻画细菌在环境中持续存活、消毒剂动态作用等复杂过程。这些局限性使得模型预测往往偏离真实世界的非线性传播特征，特别是对结核分枝杆菌(Mycobacterium tuberculosis)和耐甲氧西林金黄色葡萄球菌(MRSA)等具有环境残留特性的病原体。

为突破这一瓶颈，研究人员创新性地将分数阶微积分引入细菌传播建模。不同于整数阶导数仅反映瞬时变化，Caputo型分数阶导数能通过记忆核函数捕捉病原体在环境中的持续性和宿主免疫记忆效应。研究团队构建了包含易感者(S)、感染者(I)、康复者(R)、环境细菌(B)和消毒剂浓度(C_h)的五维动力学系统，其中环境传播项ηB/(L+B)S创新性地描述了细菌载量与感染率的非线性关系。

关键技术方面，研究采用三管齐下的方法：(1)建立含Caputo导数(阶次ζ)的分数阶微分方程组；(2)开发同伦摄动广义变换法(HPGTM)求解非线性系统，该方法融合了同伦摄动技术与广义积分变换优势；(3)通过构造Lyapunov函数和Mittag-Leffler稳定性理论，分析系统平衡点的全局稳定性。

【数学模型构建】
研究首次在细菌传播模型中同时整合了直接人际传播(βSI项)和环境介导传播(ηB/(L+B)S项)。消毒剂动力学方程创新性地引入饱和项kC_h/(M+kC_h)，刻画了消毒效率随浓度变化的真实场景。通过分数阶基本再生数R₀^B=(β^ζΛ^ζs₃^ζL^ζ+η^ζs₁^ζΛ^ζ)/[d^ζs₃^ζL^ζ(ν^ζ+γ^ζ+d^ζ)]的推导，建立了疾病流行的阈值条件。

【稳定性证明】
通过构造包含Mittag-Leffler函数的复合Lyapunov函数，研究团队严格证明了当R₀^B<1时，无病平衡点全局渐近稳定。对地方病平衡点的分析则揭示了消毒剂参数φ₁对系统稳定性的关键影响——当消毒剂降解率φ₀超过临界值φ₀^*时，系统会出现Hopf分岔，这一发现为消毒策略优化提供了理论依据。

【方法学创新】
HPGTM方法的计算精度通过残差误差分析得到验证：在ζ=0.85时，其最大相对误差仅为1.2×10^-4，远低于常规同伦摄动法的10^-2量级。该方法成功克服了分数阶方程解析求解的困难，为处理非局部算子提供了新工具。

讨论部分着重强调了该模型在多重耐药菌防控中的应用潜力。通过调节分数阶阶次ζ，模型能灵活适应不同细菌的环境存活特性——例如ζ=0.7~0.9可准确描述结核杆菌在阴暗潮湿环境中的长期存活行为。研究者特别指出，模型中消毒剂动态方程s₂^ζk^ζC_h/(M+k^ζC_h)的引入，使得模型可定量评估不同消毒方案的成本效益比。

这项研究开创性地将分数阶微积分与环境病原体动力学相结合，其构建的建模框架已被证明适用于霍乱弧菌、李斯特菌等多种环境传播病原体。未来工作可进一步整合空间异质性和随机因素，使模型更贴近真实世界复杂场景。该成果为公共卫生决策提供了新的量化工具，特别是在医疗设施消毒策略优化和疫情预警系统开发方面具有重要应用价值。