离散弹性波导中的边缘共振现象及其向各向同性连续介质的收敛研究

研究人员针对离散弹性波导中边缘共振现象的研究空白，通过构建三角晶格模型，结合Z变换和动态均质化技术，揭示了离散系统与连续介质在共振频率上的收敛规律。研究发现，当横向行数N≥5时，晶格边缘复共振频率的实部单调趋近于连续介质对应值，虚部则在N=65时出现极小值。该成果为声学超表面设计和结构健康监测提供了理论支撑，发表于《International Journal of Engineering Science》。

　　

在工程结构与材料科学领域，边缘共振现象长期被视为一把双刃剑。当弹性波导的自由边界在特定频率下产生局域化振动时，既可能引发结构失效的风险，又为能量收集和故障诊断提供了新思路。传统研究集中于连续介质中的边缘共振，而对离散晶格系统的认知仍存在显著空白。这种认知断层阻碍了从微观机制到宏观性能的桥梁构建，特别是在声学超表面和地震防护等前沿应用中。

为攻克这一难题，来自国内某高校的研究团队在《International Journal of Engineering Science》发表了突破性成果。他们创新性地建立了半无限三角晶格波导模型，通过系统研究N≥5行离散系统的动态响应，首次揭示了离散-连续介质在边缘共振频率上的收敛规律。研究采用三大关键技术：1）基于模态匹配的对称条件降维方法，将2N维方程组简化为(N+1)/2维系统；2）Z变换构建的积分表示法，将反射场表达为复平面上的围道积分；3）动态均质化技术，通过介观尺度近似实现离散求和向连续积分的转化。

【问题构建与模式匹配】
研究团队首先建立了三角晶格波导的动力学方程，通过引入对称条件（式12）将问题简化为分析对称Lamb模式。关键突破在于发现当N≡1(mod4)或N≡3(mod4)时，系统存在3N±1/4个对称模态（式18），这为后续分析提供了数学基础。

【Z变换与积分表示】
通过将位移场表示为z^m的幂级数（式20），团队推导出反射场的积分表达式（式23）。其中核函数K(z)的极点（式31）对应着系统的本征模式，而留数定理的应用使得反射系数可解析表示为adj(K(z_p))与入射场的乘积（式30）。

【动态均质化与收敛证明】
最引人注目的是离散-连续系统的收敛性证明。当N→∞时，离散系统的边缘共振条件（式36）收敛于连续介质的积分恒等式（式37）。数值模拟显示，复共振频率ω_R≈0.45045-i0.000535（N=5时）的实部随N增加单调收敛，而虚部在N=65处出现极小值，这一发现为设计最优离散度提供了量化依据。

【实验验证与应用】
COMSOL仿真验证了理论预测：当ω≈Re(ω_R)时，边界位移振幅显著增强（图6），且与解析解的误差小于0.3%。这种准共振现象在N=5晶格中表现为4个反射系数R_i的幅值突变（图4），其相位跳变2π的特征与连续系统完全一致。

该研究建立了离散与连续系统边缘共振的统一理论框架，其重要意义体现在三方面：首先，提出的Z变换方法克服了传统模态展开在角点处的收敛难题；其次，发现的虚部非单调收敛现象为优化超材料带隙设计提供了新维度；最后，推导的等效边界条件（式37）将晶格动力学与连续介质力学有机连接，为多尺度建模开辟了新途径。这些突破性进展不仅深化了对波导中能量局域化机制的理解，更为新一代声学超表面和智能监测系统的开发奠定了理论基础。