基于磁梯度张量与磁场矢量的闭合公式法在恒定磁场中的磁偶极子定位与参数估计

为解决恒定磁场环境下磁偶极子定位难题，研究人员提出闭合公式法（CFM），通过改进Yin公式并结合磁梯度张量与磁场矢量测量，实现了偶极子位置与参数的精确估计。仿真验证表明，CFM在3米距离内定位误差仅0.01米（均值），突破了传统方法在非零磁场中失效的限制，为地磁环境下的目标探测提供了新工具。

　　

在医疗导航、未爆弹药探测和磁性目标跟踪等领域，精确定位磁偶极子是核心技术挑战。传统方法如Yin公式虽能实现无磁场环境下的偶极子定位，但在存在地球磁场（约50μT）时完全失效，且对偶极子空间方位敏感，易出现数值不稳定。更棘手的是，现有解析法（如Nara方法、STAR法）或依赖迭代计算导致实时性差，或因梯度张量矩阵奇异而失效，亟需一种适应恒定磁场、计算高效且鲁棒的解决方案。

针对这一瓶颈，研究人员创新性地提出闭合公式法（Closed-form Formula-based Method, CFM）。该方法通过重构Yin公式的数学框架，引入双点磁场梯度差分测量，巧妙抵消地球磁场干扰。核心突破在于推导出式(11)的修正公式：通过测量两个位置的磁场差值与梯度张量变化，建立位置向量的显式表达式。仿真中采用三轴正交磁传感器阵列，以10cm基线距采集数据，结合15条规则的选择算法排除奇异解，最终实现全空间无盲区定位。

关键技术包括：1）基于磁梯度张量（G_xx, G_xy等分量）的特征值分解构建修正矩阵G_λ；2）利用有限差分法处理实际离散梯度数据；3）通过噪声模型（0.01nT白噪声）验证鲁棒性。研究特别设计了三维极坐标系下的系统验证框架，测试97,344种偶极子方位与距离组合。

2.1 理论框架
通过式(7)-(9)的数学变换，将地球磁场B_E作为常数项消除。关键步骤是利用式(11)中(G_λ2^-1 - G_λ1^-1)的矩阵运算分离偶极子场与背景场，实现位置向量r₁的闭合解。

2.3 硬件实现
如图3所示，六点式磁传感器阵列以正交布局测量x/y/z三轴梯度。算法通过式(20)的范数比较（N_X, N_Y, N_Z）自动选择最优估计轴，解决传统方法在偶极子与位置向量正交时的失效问题。

3.1 仿真验证
在100Am²偶极矩、1m距离的测试中：

• 传统Yin公式在非零磁场下定位误差达5.06m（图8），而CFM将误差降至2.6×10^-13m（图9）；
• 偶极矩参数估计误差从9×10⁴Am²降低到1.08×10^-10Am²；
• 在3m距离与0.01nT噪声下，仍保持0.03m的最大定位误差。

这项研究的意义在于：首次提出可解析处理恒定磁场的偶极子定位公式，突破性地解决了地磁补偿难题。CFM的实时性（闭合解计算）与鲁棒性（噪声抑制）使其在潜水器跟踪、脑磁定位等场景具有直接应用价值。未来工作将聚焦于微型化传感器阵列的实现与动态目标追踪验证。论文发表于《Journal of Magnetism and Magnetic Materials》，为磁目标探测领域提供了方法论革新。