基于L1空间离散坐标与物理信息神经网络（PINNs）的第二类Fredholm积分方程高效求解方法

本文推荐研究人员针对传统数值方法（如高斯求积、Nystr?m法）在高维奇异积分方程求解中存在的精度不足与计算效率低下问题，创新性地结合L1空间离散坐标法与物理信息神经网络（PINNs），提出了一种仅离散积分变量而保持积分结构完整的新方法。实验表明，该方法在弱奇异核及复杂边界条件下显著提升了计算稳定性与效率，并在CT类幻影重建中成功实现了噪声干扰下的衰减剖面恢复，为工程与医学成像问题提供了新思路。

　　

在量子力学、电磁场建模和医学成像等领域，第二类Fredholm积分方程扮演着核心角色，但传统数值方法如高斯求积和Nystr?m法面临高维问题计算爆炸、奇异核处理困难等瓶颈。尤其CT重建这类反问题中，传统方法对噪声和核模糊极为敏感，导致重建图像失真。针对这一挑战，中国的研究团队提出了一种融合L¹空间离散坐标与物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）的创新方法，相关成果发表于《Next Research》。

研究团队采用纵向（t方向）离散积分变量的策略，保留积分结构完整性，同时通过PINNs的物理损失函数优化确保解的物理一致性。关键技术包括：1）L¹空间离散坐标法实现降维；2）PINNs框架嵌入积分方程物理约束；3）针对CT幻影的噪声与高斯模糊数据设计专用损失函数。实验对比了高斯求积PINN、定点迭代PINN等四种方法，验证了该方案的优越性。

研究结果

• 离散坐标方法设计：通过仅离散积分变量，避免了传统全离散带来的误差累积，在弱奇异核场景下保持数值稳定性。
• CT幻影重建验证：在含噪声和高斯模糊的投影数据中，该方法成功恢复衰减剖面，显著优于传统Tikhonov正则化等方法。
• 性能对比：计算效率较Nystr?m法提升3倍，L²误差降低40%，尤其在高维边界条件下优势明显。

结论与意义
该研究通过离散坐标与PINNs的协同，突破了高维Fredholm方程求解的“维度灾难”问题，为复杂物理场仿真和医学成像提供了新工具。其核心创新在于：1）通过结构保持性离散避免积分失真；2）物理约束神经网络增强解的泛化性。未来可扩展至非线性积分-微分方程及动态逆问题求解，具有广泛的工程应用前景。