基于深度学习的参数化Fokker-Planck方程伪解析概率解方法研究

针对参数化Fokker-Planck方程(FPE)传统求解方法效率低、需重复计算的问题，研究人员创新性地提出基于高斯混合分布(GMD)和深度残差网络的伪解析概率解(PAPS)方法。该方法通过单次训练即可获得连续参数域内所有FPE的稳态概率密度函数(SPDF)，解决了多参数随机非线性系统响应分析的计算瓶颈，为复杂随机动力学研究提供了高效新工具。

　　

在随机动力学研究中，Fokker-Planck方程(FPE)作为描述粒子概率演化的核心偏微分方程，其求解对理解系统行为至关重要。然而传统方法面临双重困境：解析解仅存在于低维线性系统，而数值方法如有限差分法、蒙特卡洛模拟等每次只能计算单一参数配置，当系统参数变化时需完全重新计算。这种"一参一算"的模式严重制约了多参数随机系统的响应分析效率，特别是在涉及参数敏感性分析或优化设计时，计算成本呈指数级增长。

针对这一挑战，中国研究人员在《Engineering Applications of Artificial Intelligence》发表创新成果。研究团队创造性地将高斯混合分布(GMD)与深度残差网络相结合，开发出可同时求解连续参数域内所有FPE的伪解析概率解(PAPS)方法。该方法通过单次训练即可建立系统参数与SPDF之间的映射关系，使用时仅需输入参数即可实时获取对应解，其效率比传统方法提升数个数量级。

关键技术包括：1) 采用可自适应调整权重、均值与协方差的GMD表征SPDF；2) 设计深度残差网络实现参数到GMD参数的非线性映射；3) 开发无网格训练算法自动满足非负性、归一化和边界条件；4) 通过损失函数联合优化FPE残差和概率约束。

The Fokker-Planck equation
研究首先建立D_STA维随机系统模型?(t)=A(x;Θ)+B(Θ)Ξ(t)，推导出对应的FPE方程。重点解决参数Θ∈P变化时SPDF p(x;Θ)的高效求解问题，突破传统方法"参数变化即重算"的限制。

The mixture density network-based PAPS
创新性地构建混合密度网络(MDN)架构：使用K个高斯分量的凸组合q(x;Θ)=∑_kw_kN(x;μ_k,Σ_k)近似SPDF，通过6层残差块网络将参数Θ映射至GMD参数(w_k,μ_k,Σ_k)。相比固定方差网格的RBFNN，该方法可自适应调整所有分布参数，极大减少所需高斯组件数量。

Numerical experiments
在双稳系统等典型案例中验证：对D_PAR=2参数系统，单次训练获得的PAPS在不同参数组合下均能精确拟合SPDF，KL散度低于10^-3。特别在随机分岔点附近仍保持稳定性能，证明方法对参数突变的鲁棒性。

Discussions
训练过程显示，当N_SYS×N_STA采样点达10⁶量级时，FPE损失L_FP可稳定收敛。相比传统方法，计算效率提升显著：4维系统求解速度加快约300倍，且维度升高时优势更明显。

该研究开创性地实现了参数化FPE的"一次训练、全域求解"，其重要意义体现在：1) 为多参数随机系统提供实时响应分析工具；2) 通过GMD参数自适应机制有效降低计算维度灾难；3) 网络架构内嵌概率约束，避免传统PINN中耗时的数值积分。这项工作不仅推动随机动力学研究范式变革，其"参数-解"映射框架也可拓展至其他微分方程求解领域。