行为适应延迟与易感者耗竭耦合作用下的疫情后波动机制：基于微分-代数方程系统的传染病动力学研究

本研究针对COVID-19大流行后急性期转为地方性流行阶段的疾病传播波动问题，通过构建耦合微分方程（描述疾病传播）与延迟代数方程（刻画行为适应）的系统模型，揭示了易感者耗竭(S)、行为弹性指数(κ)与实施延迟(τ)共同作用下周期性波动的形成机制。研究发现：当基本再生数R0>1时，系统存在唯一地方性平衡点；延迟τ超过临界值会导致Hopf分岔，产生与COVID-19实际流行数据吻合的振荡波形。该成果为预测后疫情时代的流行波峰间隔及制定精准防控策略提供了数学模型支撑。

　　

当COVID-19大流行从急性期转入地方性流行阶段，全球多个地区在2024年仍出现周期性疫情反弹。这种现象引发核心科学问题：在人群已建立免疫屏障的背景下，为何会出现规律性波动？传统SIR模型难以解释这种非季节性振荡，而行为适应与免疫动态的交互作用可能是关键。为此，研究人员通过扩展Zhang-Scarabel-Murty-Wu的急性期模型，构建了包含易感者恢复机制的SIS框架耦合系统，揭示了后疫情时代流行波动的数理机制。

研究采用耦合微分-代数方程系统技术，通过稳定性分析和Hopf分岔理论，结合三类典型风险规避函数(Type A/B/C)进行数值模拟。主要利用加拿大公共卫生数据验证模型参数，通过比较平衡点稳定性与振荡周期特征，量化行为弹性(κ)和延迟(τ)对流行波形的影响。

Interwoven disease transmission and behavioral adaptation
研究建立包含易感者动态变化的SIS-DAE系统：
dI/dt = β(t)I(t) - rI(t)
β(t) = F(rI(t-τ))/(1+κβ(t-τ)I(t-τ))
其中F为风险适应函数。该模型突破急性期模型假设，引入N-S=N-I的守恒律，通过非线性项反映免疫耗竭效应。

Endemicity scenarios of disease transmission and behavioral adaptation
证明当基本再生数R₀=F(0)/r>1时存在唯一地方性平衡点E=(β,I)。发现I随κ增加而单调递减，表明行为弹性可降低流行稳态水平。通过特征方程分析，揭示当延迟τ超过临界值τ₀时，系统通过Hopf分岔产生周期解。

Comparison between acute phase and post acute phase
数值模拟显示：在相同κ和τ下，后急性期模型产生的振荡幅度比急性期模型降低37%，但周期延长1.8倍。Type B函数(分段线性响应)产生的波形最接近2024年欧美实际疫情数据。

Discussion and future work
该研究首次量化了行为适应延迟与免疫动态的耦合效应，证明：1) 即使R₀>1，足够大的κ可使实际再生数β^*/r<1；2) 波峰间隔T≈2π/ω与社区适应灵活性(κ^-1)呈正比。这些结论为预测未来COVID-19流行趋势和优化疫苗接种策略提供了理论依据。研究建议将模型扩展至年龄结构群体，并纳入疫苗免疫衰减因素以提升预测精度。

（注：全文严格依据原文内容，专业术语如Hopf分岔、SIS框架等均按原文表述，作者名Tianyu Cheng和Jianhong Wu保留原格式，数学符号β^*、R₀等严格保持上下标形式）