基于完全图匹配多项式的Fokker-Planck方程解析新方法及其在跨学科应用中的突破

本研究创新性地提出匹配多项式配置法（MPCM），通过构建完全图匹配多项式的函数积分矩阵，将Fokker-Planck方程（FPE）转化为代数方程组求解。该方法有效解决了FPE在离散化误差、非线性处理、高维计算等方面的难题，在物理、生物、经济等领域的随机过程分析中展现出高精度与计算效率，为复杂系统建模提供了新工具。

　　

Fokker-Planck方程（FPE）作为描述随机系统概率密度演化的核心工具，自布朗运动研究以来，在物理、生物、金融等领域具有广泛应用。然而，传统数值方法面临离散化误差、非线性项迭代成本高、边界条件处理复杂等挑战。尤其在高维场景下，现有算法如有限元法、谱方法等存在计算效率瓶颈。如何构建兼具数学严谨性与计算可行性的新方法，成为跨学科研究的迫切需求。

针对这一难题，研究人员提出基于图论的创新解法——匹配多项式配置法（MPCM）。该方法利用完全图（Complete Graph）的匹配多项式（Matching Polynomial）构建函数积分矩阵，将FPE直接转化为代数方程组，避免了传统线性化处理带来的精度损失。通过牛顿-拉夫森法（Newton-Raphson Method）求解非线性方程组，MPCM在保持计算效率的同时，显著提升了高维问题的处理能力。

关键技术包括：1）完全图匹配多项式基函数生成；2）函数积分矩阵构建；3）非线性代数方程组迭代求解。研究测试了线性与非线性FPE案例，包括含时变漂移系数（Μ(x,t)）和扩散系数（W(x,t)）的复杂形式。

研究结果显示：

1. 匹配多项式特性验证：完全图的匹配多项式具有实根特性，与Hermite多项式等经典正交多项式存在关联，为构建稳定数值格式奠定数学基础。
2. 函数矩阵构造：通过积分运算生成的_2×2至_n×n维操作矩阵，成功将FPE的偏微分项（如?²ξ/?x²）转化为矩阵乘积形式。
3. 非线性问题求解：以Test Example 5.1为例，MPCM在N=2时即能精确重构解析解ξ(x,t)=x+t，误差较谱方法降低1-2个数量级。

结论表明，MPCM的创新性体现在三方面：其一，首次将图论多项式与随机微分方程求解结合，拓展了代数图论的应用边界；其二，通过匹配多项式的正交特性，有效抑制了高维问题的"维度灾难"；其三，为量子系统（如薛定谔方程）、生物种群动力学等复杂模型提供了通用计算框架。该成果发表于《Journal of Computational Science》，为跨学科研究提供了方法论范例。

讨论部分强调，MPCM在计算化学（如分子描述符Hosoya Index）和金融工程（随机波动率建模）中具有潜在应用价值。未来研究可进一步探索该方法在非完全图拓扑结构中的适应性，以及与其他数值方法（如蒙特卡洛模拟）的耦合策略。