非局部扩散方程预张量交替方向隐式(P-ADI)方法：理论构建与高效数值求解

本文针对高维非局部扩散方程计算效率低、传统ADI方法无法直接应用的难题，提出预张量交替方向隐式(P-ADI)新算法。通过将离散非局部算子分解为具有张量结构的隐式主导项和非张量显式项，结合有限差分和算子分裂技术，构建无条件稳定且收敛的快速求解方案。数值实验验证该方法在保持二阶精度的同时，显著降低计算复杂度至O(N log N)，为非局部模型工程应用提供高效数值工具。

　　

在工程建模和科学计算领域，非局部扩散方程因其能描述长程相互作用而广泛应用于固体力学、图像处理和流体动力学。然而这类模型的数值求解面临双重困境：一方面，非局部算子导致稠密系数矩阵，传统方法需要O(N²)计算量；另一方面，交替方向隐式(ADI)这类高效算法要求算子具有张量结构，而普通非局部算子无法满足。现有解决方案如S-ADI方法仅适用于特殊分数阶情形，且需要满足苛刻的范数等价条件，严重制约了算法普适性。

针对这一瓶颈问题，澳门大学的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表创新成果。研究者另辟蹊径提出预张量(P-tensor)概念，将离散非局部算子L_δ,h分解为具有张量结构的预张量P和剩余项R。其中P采用隐式欧拉格式处理并实施ADI分解，R则通过显式格式计算。这种P-ADI方案突破传统限制，仅需预张量满足弱化条件：P的范数控制非局部算子范数、对正则解保持有界性、具备张量结构。理论证明该方案无条件稳定且保持二阶空间精度，计算复杂度降至理想的O(N log N)。

关键技术方法包括：1) 采用Du等提出的二阶有限差分离散非局部算子；2) 构造基于经典拉普拉斯算子的预张量P；3) 实施算子分裂技术分离张量与非张量部分；4) 应用ADI方法求解隐式张量系统；5) 通过Toeplitz矩阵分析和能量估计法进行稳定性证明。

【The discretization】部分建立了数学模型的空间离散框架。在均匀网格h=(b-a)/(N+1)上，将非局部算子L_δ离散为具有Toeplitz块结构的矩阵A_δ，同时构造对应的离散局部算子P作为预张量。关键引理证明‖A_δv‖₂≤C‖Pv‖₂，为后续稳定性分析奠定基础。

【P-ADI scheme】详细阐述算法实现过程。时间方向采用IMEX格式，将预张量P对应的项作隐式处理并实施Peaceman-Rachford型ADI分裂：(I-Δt/2·P_x)U^*=(I+Δt/2·P_y)Uⁿ+ΔtR(Uⁿ)，再通过类似步骤求解Uⁿ⁺¹。每个分裂步骤仅需求解三对角线性系统，大幅提升计算效率。

【Stability and convergence】通过能量分析建立严格理论保证。引入辅助能量范数‖·‖_E证明解的有界性，推导出误差方程并利用离散Gronwall不等式证得‖uⁿ-Uⁿ‖=O(h²+Δt)的收敛阶。特别指出预张量条件‖A_δv‖≤c₂‖Pv‖替代传统S-ADI的范数等价条件，是放宽理论限制的关键创新。

【Numerical examples】部分通过二维数值实验验证理论结果。选取典型非局部核函数ρ(r)=1/r^β(β>0)，比较P-ADI与传统非ADI方案。当空间网格数N=128时，P-ADI方案将单步计算时间从3.72秒降至0.15秒，加速比达24.8倍，同时保持相同的二阶精度。参数敏感性测试显示，该方法对非局部半径δ和核函数参数β均保持鲁棒性。

研究结论指出，P-ADI方案通过预张量策略成功将ADI方法拓展至一般非局部扩散方程，突破传统方法对算子结构的限制。理论分析建立的新型稳定性条件框架，为发展更广泛的非局部模型快速算法提供新思路。未来工作可延伸至三维问题和非线性情形，以及在非均匀网格和非矩形域上的应用。该成果不仅完善了非局部问题数值理论体系，更为工程实际中的大规模计算提供切实可行的解决方案。