分段物理约束神经网络求解二阶脉冲微分方程的高精度方法研究

针对传统网格法在非线性脉冲问题中的性能退化问题，研究人员提出分段物理约束神经网络（Piecewise-PCNNs），通过多子网络架构和硬约束方法实现解空间解耦，将多目标优化转化为单目标优化。实验表明，该模型在二阶脉冲微分方程求解中具有更高计算精度和效率，尤其适用于复杂非线性脉冲问题，为工程领域提供了网格无关的新范式。

　　

脉冲现象在医学药理、传染病动力学和生物工程等领域广泛存在，例如急性中毒干预中的碳吸附动力学、人工胰腺的脉冲胰岛素输送模型等。传统数值方法依赖网格划分，面对脉冲条件导致的解空间突变时，常因连续性假设破坏而出现振荡或发散。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）虽能规避网格限制，但标准PINNs在处理脉冲问题时仍面临软约束（Soft BC）带来的多目标优化冲突和收敛效率低下等挑战。

北京理工大学珠海校区数学与交叉科学研究院的陈君曦与梅良材团队在《Neurocomputing》发表研究，提出分段物理约束神经网络（Piecewise-PCNNs）。该模型融合分段PINNs（Piecewise-PINNs）的子网络架构和硬约束方法（Hard BC），通过先验信息嵌入脉冲/边界条件，将解空间解耦为连续子域，显著提升二阶脉冲微分方程的求解精度。关键技术包括：1）多子网络架构实现解空间分段建模；2）硬约束函数直接满足脉冲跳跃条件；3）偏置网络消除边界误差；4）物理损失函数嵌入微分算子。实验选取含单/多脉冲点的线性和非线性方程，以平均绝对误差（MAE）为指标，对比传统数值法和Piecewise-PINNs验证性能。

模型架构
Piecewise-PCNNs由四部分组成：架构函数将输入映射到高维特征空间；约束函数通过Heaviside阶跃函数实现脉冲点自动分区；子网络采用全连接层独立处理各连续区间；偏置网络通过线性变换强制满足边界条件。该设计将传统PINNs的边界/脉冲损失项转化为网络固有属性，避免多目标优化冲突。

数值实验
以二阶线性脉冲方程u′′(x)+a₁(x)u′(x)+a₀(x)u(x)=f(x)为例，在x=c处设置脉冲条件Δu′(c)=α₃、Δu(c)=α₄。结果显示：1）单脉冲情况下，Piecewise-PCNNs的MAE较有限元法降低2个数量级；2）对于非线性方程u′′(x)+sin(u(x))=δ(x?c)，该模型仍保持0.1%的相对误差，而Piecewise-PINNs因软约束出现10%幅值偏差；3）扩展至三脉冲点时，收敛速度比传统方法快15倍。

结论与意义
该研究首次将硬约束方法与分段神经网络结合，解决了脉冲问题中物理信息捕获与条件强制的矛盾。其优势体现在：1）网格无关性适用于高维突变系统；2）解空间解耦提升非线性问题稳定性；3）计算效率较传统方法提升1个数量级。未来可拓展至随机脉冲系统和分数阶方程求解，为生物医学工程中的脉冲控制提供新工具。