非局部弹性理论中Rayleigh波的确定性与适定性研究：核修正方法的应用

研究人员针对非局部弹性理论中Rayleigh波传播问题存在的积分与微分公式不一致性，通过引入核修正方法，成功解决了传统理论中边界条件冲突导致的适定性问题。研究表明，当核函数与自然边界条件协调时，积分与微分公式结果一致，且发现非局部弹性问题本质上具有不确定性，需要额外边界条件约束。这一发现为纳米材料波动特性研究提供了新的理论基础。

　　

在材料科学和工程力学领域，非局部弹性理论因其能够描述材料微观结构与宏观力学行为之间的关联而备受关注。传统弹性理论在解释纳米尺度材料的力学行为时面临挑战，特别是在处理应力集中和波动传播问题时。Rayleigh波作为表面波的重要类型，在材料无损检测和地震工程等领域具有重要应用价值。然而，在非局部弹性理论框架下，Rayleigh波的传播特性研究却长期存在理论矛盾：积分形式的非局部应力定义与微分形式的运动方程往往给出不一致的结果，这一问题被学界称为"适定性危机"。

针对这一理论难题，研究人员开展了深入系统的研究。他们发现问题的根源在于传统方法忽略了核函数中隐含的本构边界条件(CBCs)与自然边界条件(NBCs)之间的协调性。通过引入核修正方法，研究人员成功地将积分与微分两种表述统一起来。这项研究发表在《International Journal of Engineering Science》上，为解决非局部弹性理论中的基本矛盾提供了新思路。

研究采用了数学物理中的格林函数方法、积分变换技术和渐近分析等主要技术手段。通过构建修正的核函数，研究人员确保了本构边界条件与自然边界条件的自洽性。特别地，他们采用了Bessel函数组合作为衰减函数，保证了边界条件的正确施加。

【2. On the well-posedness of Eringen's non-local theory of elasticity】
研究首先建立了弹性半空间的二维平面应变模型，通过引入核修正方法，证明了当核函数选择为特定格林函数时，积分与微分公式的等价性。关键发现是：在有限域问题中，必须通过核修正来协调本构边界条件与自然边界条件，否则会导致问题过约束而失去适定性。

【2.1. Travelling wave solution】
针对谐波传播问题，研究人员推导出行波解的具体形式。结果表明，修正后的核函数能够保证非局部应力分量同时满足运动方程和边界条件。特别值得注意的是，他们发现当核函数采用两个Bessel函数的组合时，可以自动满足应力自由边界条件。

【3. Indeterminacy of the non-local theory】
研究揭示了一个重要现象：非局部弹性理论本质上具有不确定性。这是因为在二维问题中，需要定义三个衰减函数，但只能从边界条件中获得两个约束。这意味着必须额外指定一个边界条件才能使问题确定。这一发现解释了为什么不同研究者采用不同边界条件会得到不同结果。

【4. SH-waves in a non-local half-space】
研究进一步考察了SH波在非局部半空间中的传播。结果表明，通过适当选择衰减函数，可以保证剪切应力分量满足边界条件。同时，研究再次验证了非局部问题的内在不确定性特征。

这项研究的重要意义在于：首先，它解决了非局部弹性理论中长期存在的适定性问题，为理论的实际应用扫清了障碍；其次，研究揭示了非局部问题的内在不确定性特征，这一发现对理解纳米材料的力学行为具有重要启示；最后，提出的核修正方法具有普适性，可推广到其他非局部连续体力学问题中。研究结果为纳米器件设计和材料性能表征提供了新的理论工具，特别是在处理表面波传播问题时具有独特优势。