基于Pell小波优化的分数阶偏微分方程非局部边界条件问题高效求解新方法

针对分数阶反应-扩散方程(F-RDEs)和分数阶双曲偏微分方程(FH-PDEs)的非局部边界条件(N-BCs)求解难题，研究人员开发了基于Pell小波函数的混合计算策略。通过构建导数伪运算矩阵、积分伪运算矩阵及Riemann-Liouville分数阶积分矩阵，结合优化与配点法，在Mathematica中实现高精度求解。该研究为物理和工程领域的复杂非局部问题提供了创新性数值工具。

　　

在数学物理和工程应用中，分数阶偏微分方程(F-PDEs)因其能更精确描述记忆效应和遗传特性等复杂现象而备受关注。然而，当这类方程遭遇非局部边界条件(N-BCs)时——即边界值依赖于整个域内解的信息而非局部点值，传统数值方法往往束手无策。这类问题在热传导、流体力学和生物组织建模等领域广泛存在，但现有方法在计算精度和效率方面存在明显局限。

针对这一挑战，研究人员开展了突破性研究。通过创新性地结合Pell小波函数与优化技术，构建了三个核心计算矩阵：导数伪运算矩阵处理微分项，积分伪运算矩阵处理常规积分，特别设计的Riemann-Liouville分数阶积分矩阵则专门应对分数阶算子。这些矩阵与配点法协同工作，将原问题转化为可在Mathematica中高效求解的代数系统。

关键技术包括：1) Pell小波函数的构造与特性分析；2) 三类运算矩阵的数学推导；3) 优化算法与配点法的融合实施；4) FindRoot工具包的系统求解。研究团队通过严格的收敛性分析证明，该方法误差上界与1/M!成正比(M为多项式阶数)，确保计算可靠性。

数值结果验证
对F-RDEs的测试案例显示，当ν=0.85时，该方法在16节点配置下即达到10^-6量级精度。特别值得注意的是，其对非线性项U²(s,r)的处理展现出卓越稳定性。FH-PDEs的仿真中，ν=1.5时的解曲面与解析解高度吻合，证实方法对高阶分数导数的适应性。

结论与展望
该研究成功实现了三个突破：1) 首次将Pell小波应用于分数阶N-BCs问题；2) 构建的运算矩阵可推广至其他小波基；3) 为复杂物理系统建模提供通用框架。Sedigheh Sabermahani等学者特别指出，该方法在保持指数级收敛的同时，计算复杂度仅为O(M²)，显著优于传统谱方法。这项发表于《Journal of Computational Science》的成果，不仅为数学物理方程求解开辟新途径，更为工程优化、生物医学成像等需要处理非局部效应的领域提供了有力工具。未来研究可进一步拓展至三维问题和非线性更强的系统。