高维矩阵观测数据的鲁棒性CP分解因子模型：基于椭圆分布框架的理论与应用

针对高维矩阵数据中潜在低秩结构与厚尾分布的特性，研究人员提出基于椭圆分布框架的分层CP分解矩阵因子模型(E-RaDFaM)。通过矩阵Kendall's tau估计因子载荷空间，结合最小二乘估计因子得分，建立了具有统计一致性的估计理论。该方法在保持计算效率的同时显著提升了厚尾数据下的信号估计性能，为宏观经济等矩阵型大数据分析提供了新工具。

　　

在大数据时代，矩阵型高维观测数据已广泛应用于金融报表、宏观经济监测、神经影像分析等领域。这类数据通常蕴含潜在的低维结构，但传统分析方法面临两大挑战：一是常规因子模型可能忽略纯行向或列向信息；二是金融数据等常呈现厚尾分布特性，现有方法对异常值敏感。针对这些问题，研究人员创新性地将张量分解中的规范多线性(CP)分解技术引入矩阵因子建模，提出了基于椭圆分布框架的鲁棒分析方法。

该研究由上海某高校统计团队主导，发表在《Journal of Multivariate Analysis》。研究团队首先建立了分层CP乘积矩阵因子模型(E-RaDFaM)，该模型通过三个信号项分别捕捉行列交互效应、纯行向和纯列向信息。采用矩阵Kendall's tau非参数方法估计因子载荷空间，结合最小二乘估计因子得分，并创新性地提出特征值比率法确定因子数量。所有分析均在中国宏观经济面板数据(30省份×81指标×87个月)上得到验证。

【Rank-decomposition-based factor modeling for matrix-variate observations】
研究揭示了传统双线性模型(BiMFaM)的局限：当数据同时存在行列交互效应和纯行列信息时，简单双线性形式会导致信息损失。通过CP分解的数学推导，证明将矩阵秩分解与向量因子模型结合，可自然导出包含RZ_tC^?、RE_t^?和F_tC^?三项的RaDFaM模型，其信号保留更完整。

【Theoretical analysis】
在椭圆分布假设下，证明了Vec(X_t^?)的散布矩阵具有可分离的Kronecker乘积结构。建立的理论保证显示：当p₁,p₂→∞且log(max(p₁,p₂))=o(T)时，所提sMRTS方法对因子载荷和公共成分的估计具有一致性，收敛速率与轻尾情形相当。特别地，特征值比率估计量对因子数(k₁,k₂)的确定具有相合性。

【Data generation】
模拟实验设置k₁=k₂=3，比较E-RaDFaM与E-BiMFaM的性能。当数据来自多元t分布(自由度v=3)时，sMRTS方法在信号部分估计的均方误差比sPCA降低37.2%，且在厚尾条件下优势更显著。因子数估计准确率达到91.7%，显著高于传统信息准则。

【Data analysis】
在中国宏观经济数据分析中，81个指标的样本峰度呈现明显厚尾特征(部分指标峰度>15)。应用sMRTS方法成功提取3个主要因子，重构矩阵与原始数据的相关系数达0.824，较传统方法提升19.6%。因子载荷揭示出"区域经济协同发展"和"产业结构转型"等潜在维度。

该研究通过将CP分解技术与鲁棒统计方法结合，首次建立了适用于厚尾矩阵数据的完整因子分析框架。理论证明即使在高维情形下，该方法也能保持估计效率，无需牺牲计算可行性。实际应用表明，该方法能有效捕捉宏观经济数据中的复杂依赖结构，为政策制定提供更可靠的量化依据。未来研究可考虑将框架扩展至动态张量时间序列分析，并探索更灵活的椭圆分布族设定。