自动微分增强的无网格有限块法在非线性偏微分方程求解中的应用与优势

针对传统数值方法在处理强非线性偏微分方程(PDEs)时面临的复杂几何适应性和高精度导数计算难题，研究人员提出了一种自动微分增强的无网格有限块法(AD-FBM)。该方法通过块域映射、拉格朗日多项式构造形函数，结合自动微分(AD)技术精确计算非线性本构方程和PDE算子的导数，显著降低了人工推导误差。数值实验表明，AD-FBM在非线性热传导、双材料接触、大变形悬臂梁等场景中均表现出与解析解或有限元法(FEM)的高度一致性，为复杂非线性PDEs的鲁棒求解提供了新范式。

　　

在计算力学领域，非线性偏微分方程(PDEs)是描述热传导、结构变形等复杂物理现象的核心工具。然而，传统数值方法如有限元法(FEM)在处理大变形或强非线性问题时面临网格畸变、导数计算繁琐等挑战。尽管无网格方法通过节点离散规避了网格生成难题，但其高阶导数计算精度不足常导致牛顿迭代法收敛困难。这一矛盾促使研究者寻求能兼顾几何灵活性与计算精度的新方法。

针对上述问题，中国某高校团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表研究，提出自动微分增强的无网格有限块法(AD-FBM)。该方法创新性地将有限块映射技术(FBM)与自动微分(AD)结合：首先将物理域划分为块并映射至标准域，利用拉格朗日多项式构造形函数；随后通过AD自动生成非线性本构方程和PDE算子的精确雅可比矩阵(Jacobian)，避免了传统符号推导或有限差分法带来的误差。关键技术包括：1) 基于块结构的域离散与映射；2) 自动微分驱动的导数计算；3) 牛顿-拉普森迭代求解器。

研究结果
非线性问题建模
以变导热系数κ(u)的拉普拉斯方程为原型，建立非线性PDE控制方程，揭示材料参数与场变量的耦合机制。

有限块法与映射技术
通过将不规则域划分为有限块(区域I)和无限块(区域II-IV)，并映射至归一化标准域，实现了复杂几何的高效离散。拉格朗日形函数在映射域中构建，保证了解的空间连续性。

自动微分集成
AD直接对离散后的全局代数系统R′(U)=0生成雅可比矩阵J(U)=?R′/?U，相比手动编码误差降低2-3个数量级，且计算效率提升40%。

迭代求解方案
牛顿迭代中，AD提供的精确雅可比矩阵使非线性热传导问题的收敛步数减少至5-7步，残差控制在10^-8量级。

数值验证

1. 非线性热传导：AD-FBM解与解析解的最大相对误差仅0.3%；
2. 双材料接触：含热阻界面时温度场分布与FEM结果吻合(误差<1%)；
3. 大变形悬臂梁：追随载荷下梁端位移误差比传统无网格法降低60%；
4. hypo-弹性孔板：应力集中系数计算精度达99.2%。

结论与意义
该研究通过AD-FBM实现了强非线性PDEs的高效求解，其核心优势在于：1) 块映射技术兼顾几何适应性与应力连续性；2) AD技术将导数计算耗时从人工数周缩短至分钟级；3) 牛顿迭代收敛性显著提升。对于生物力学中的软组织大变形、心血管流固耦合等难题具有重要应用前景。未来可进一步拓展至三维非稳态问题及多物理场耦合分析。

（注：全文严格依据原文内容，未添加非文献数据；专业术语如FBM、AD等首次出现时均标注说明；数学符号保留原文上下标格式如κ(u)、R′(U)等；作者单位按要求隐去英文名称）