五维超混沌二次多项式微分系统的零-Hopf分岔及其周期轨道解析研究

本研究针对5维超混沌二次多项式微分系统(5D)中零-Hopf平衡点的周期轨道分岔问题，运用平均理论(averaging theory)首次解析获得两族周期轨道的初始条件表达式。该工作突破数值模拟局限，为高维混沌系统动力学分析提供新范式，相关成果发表于《Mathematics and Computers in Simulation》。

　　

在非线性动力学领域，高维混沌系统的复杂行为解析始终是重大挑战。传统研究多依赖数值模拟，但这种方法难以揭示系统内在的数学本质。特别在5维超混沌系统(5D hyperchaotic system)中，零-Hopf平衡点（同时具有三重零特征值和一对纯虚数特征值的奇点）的动力学行为更充满未解之谜。Diab等学者2021年报道的5维二次多项式微分系统展现出特殊性质——存在充满零-Hopf平衡点的直线，这为理论探索提供了独特窗口。

为突破这一瓶颈，Zouhair Diab、Juan L.G. Guirao和Jaume Llibre组成的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表创新成果。他们运用平均理论(averaging theory)这一强有力工具，首次对5维超混沌系统的零-Hopf分岔进行解析研究。通过构建特殊参数空间（a=b=c=0且hm>-1），严格证明当系统满足ω=√(1+hm)时，平衡点O处会产生两族周期轨道，并给出其精确初始条件表达式。

关键技术方法包括：1）Jacobian矩阵特征值分析法确定零-Hopf平衡点条件；2）一阶平均理论建立周期轨道存在性判据；3）特征多项式降阶技术处理高维系统。研究样本为理论模型本身，不涉及实验数据。

【Introduction and statement of the main results】
提出通过平均理论解析研究高维系统周期轨道的新范式，突破传统数值方法的局限性。

【The averaging theory of first order】
建立适用于5维系统的扰动方程x?=εF₁(t,x)+ε²F₂(t,x,ε)，通过一阶近似提取周期解。

【Proof of the results】
关键突破在于：1）推导出Jacobian矩阵J的特殊结构，其特征多项式P(λ)必须满足λ³(λ²+ω²)形式；2）严格证明当参数a=b=c=0时，系统存在ω=√(1+hm)的非平凡解；3）解析获得两族周期轨道的初始条件。

这项研究具有双重里程碑意义：数学上，首次实现5维超混沌系统周期轨道的完全解析刻画；应用上，为混沌控制、保密通信等领域提供理论支撑。特别值得注意的是，该零-Hopf平衡点存在于连续直线上的特殊性质，暗示系统可能具有更丰富的动力学层次。Reial Acadèmia de Ciències i Arts de Barcelona支持的研究还揭示，当hm>-1时系统保持结构稳定性，这一发现为后续高维混沌系统分类研究开辟了新途径。