迭代最长边二分法中R1+四面体族相似类收敛性研究及其在有限元方法中的应用

本研究针对迭代最长边二分法(LEB)在四面体网格细分中产生的相似类数量问题，通过改进Trujillo-Pino等人提出的R1+近正四面体族，采用相似类最长边二分法(SCLEB)算法，证明其相似类收敛数n≤37且n∈{4,8,9,13,21,37}。该成果为有限元法(FEM)中刚度矩阵的高效计算提供了理论依据。

　　

在计算几何与有限元方法领域，四面体网格的质量直接影响数值模拟的精度和效率。迭代最长边二分法(LEB)作为一种经典细分算法，虽具有实现简单、计算成本低等优势，但其迭代过程中产生的相似类数量问题长期悬而未决——这关系到有限元法(FEM)中刚度矩阵的计算效率，因为每个相似类都需要独立计算元素矩阵。Adler在1983年曾猜想近正四面体经LEB迭代会产生最多37个相似类，但缺乏严格证明。

针对这一关键问题，Miguel A. Padrón、Agustín Trujillo-Pino和Jose Pablo Suárez团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表的研究中，系统研究了改进的R₁⁺四面体族（将Adler提出的边长差异阈值从5%提升至22.47%）在LEB中的收敛特性。通过创新性提出相似类最长边二分法(SCLEB)算法，并采用六元组表征四面体形状，首次完整构建了37个相似类的生成树，证实了Adler猜想的正确性。

关键技术方法包括：1) 基于六元组的四面体表征体系；2) SCLEB算法实现相似类的自动化追踪；3) 对R₁⁺族几何约束条件的数学建模。研究通过系统分析不同参数组合下的收敛路径，建立了完整的分类框架。

【研究结果】

1. R₁⁺族的37类收敛证明
   通过SCLEB算法完整绘制了所有可能的相似类生成路径，验证了最大37类的理论边界。当初始四面体满足最长边与次长边相对且边长差异≤22.47%时，必然收敛于有限类。

2. 少于37类的收敛条件
   发现特定几何约束可使相似类数量降为4/8/9/13/21类。例如当满足(D+E+F)=(A+B+C)/2时，类数缩减至21类；若进一步满足特定边比关系，可继续降至更低数量级。

3. 子族分类体系
   建立了R₁⁺C_n子族分类标准（n∈{4,8,9,13,21}），通过六元组参数的线性组合关系精确界定每种子族的几何特征。

【结论与意义】
该研究首次为LEB的相似类收敛问题提供了完备的数学框架，将Adler的经验观察转化为严格定理。实际价值体现在：1) 为FEM软件优化提供理论指导，通过预计算相似类刚度矩阵可提升计算效率；2) 建立的R₁⁺子族分类体系，为网格生成算法设计提供了新的质量控制标准。研究结果对计算流体力学、结构分析等领域的网格优化具有重要参考价值。