基于Atangana-Baleanu分形分数阶算子的非线性葡萄糖-胰岛素系统建模与Adomian分解法求解

本研究针对传统葡萄糖-胰岛素动力学模型在描述记忆效应和复杂生理过程方面的局限性，创新性地将Atangana-Baleanu分形分数阶算子引入非线性系统建模。研究人员采用Adomian分解法（ADM）构建了包含β细胞动力学的三变量数学模型，通过Mittag-Leffler核函数刻画系统记忆特性，证明了解的存在唯一性及Hyers-Ulam稳定性。数值模拟验证了该模型在预测治疗干预效果和识别糖尿病治疗靶点方面的优越性，为代谢紊乱管理提供了新工具。

　　

糖尿病作为全球性健康挑战，其核心病理机制——葡萄糖-胰岛素调节系统的失衡始终是研究难点。传统整数阶微分方程模型在描述生物系统的记忆效应和非线性特征时存在明显局限，尤其难以准确模拟β细胞功能异常导致的胰岛素分泌紊乱。这些问题促使Taif大学等机构的研究团队将目光投向新兴的分形分数阶微积分领域。

研究团队创新性地构建了基于Atangana-Baleanu分形分数阶算子的三变量动力学系统，其中变量x(t)、y(t)、z(t)分别代表血浆胰岛素浓度、葡萄糖浓度和肠道葡萄糖吸收速率。模型通过引入两个关键参数：分数阶次ρ₁和分形维数ρ₂，使系统能同时捕捉代谢过程的记忆特性和非欧几里得几何特征。技术方法上主要采用：1）Atangana-Baleanu-Caputo分数阶导数定义；2）Adomian分解法（ADM）进行级数展开求解；3）基于Mittag-Leffler函数的稳定性分析框架；4）临床数据校准的参数估计方法。

【Preliminaries部分】明确定义了Caputo型分数阶积分算子^CD^ρ₁和分形微分概念，为后续建模奠定数学基础。特别值得注意的是，研究者选择Mittag-Leffler核函数替代传统幂律核，因其更擅长描述生物系统的长程记忆特性。

【Existence and uniqueness部分】通过构建Banach空间Ω={(x,y,z)∈R³:max(|x|,|y|,|z|)≤η}，利用Lipschitz条件证明了系统解的存在唯一性。这一理论保证为后续数值模拟提供了严格数学支撑。

【Sensitivity analysis部分】针对临床参数开展系统分析，揭示关键参数敏感性：胰岛素生成率?₁=0.79196、葡萄糖清除率?₄=2.84575等参数对系统动态影响最为显著。通过稳态分析推导出平衡点表达式x=(0.79196y+0.37538)/0.24537，为临床干预提供量化依据。

【Extending stability analysis部分】创新性地将Hyers-Ulam稳定性与Mittag-Leffler稳定性相结合，证明系统在扰动下具有‖x(t)‖≤CE_α(-λt^α)‖x₀‖的衰减特性，这一发现确保模型在临床应用中的鲁棒性。

该研究通过分形分数阶框架成功解决了传统模型在描述葡萄糖-胰岛素动态时的三个关键局限：1）无法刻画代谢记忆效应；2）难以模拟β细胞功能的非线性响应；3）缺乏对病理状态下参数突变的适应性。特别值得注意的是，模型对妊娠糖尿病等特殊生理状态的模拟能力，通过调节ρ₁,ρ₂参数即可再现胰岛素抵抗特征。研究结果发表于《Computers in Biology and Medicine》，为个性化糖尿病治疗方案设计提供了新型数学工具，其采用的ADM数值方法相比传统技术计算效率提升显著，系列收敛特性确保临床应用的可靠性。未来工作将聚焦于模型参数与临床指标的精确映射，以及基于真实患者数据的验证研究。