针对具有统一控制波动的不确定T-S模糊系统，提出了一种标量投影同步方法：该方法在四罐过程模型中得到了实现

《Expert Systems with Applications》：Scalar projective synchronization for uncertain T-S fuzzy systems with unified control fluctuation: Implementation to quadruple-tank process model

本文研究存在参数不确定性和非线性函数的 Takagi-Sugeno (T-S) 模糊系统的能量性能，提出非脆弱状态反馈控制器并基于标量投影同步方法分析其鲁棒扩展耗散性。通过增强Lyapunov-Krasovskii函数和Jensen不等式处理积分项，建立考虑加性/乘性不确定性的鲁棒性条件，并利用模糊化四 tank过程模型验证理论有效性。

　　本研究旨在探讨基于能量的T-S模糊系统在存在参数不确定性和非线性函数情况下的鲁棒性表现。T-S模糊系统是一种广泛应用的非线性系统建模方法，其核心思想是通过将非线性系统近似为多个局部线性系统的凸组合，从而实现对复杂系统行为的分析和控制。这种建模方式在处理非线性系统时具有高度的灵活性，同时也能够借助线性系统理论的成熟成果进行扩展。然而，在实际应用中，系统状态和控制输入往往受到外部扰动、建模误差或未测量变量的影响，导致输入与实际值之间存在偏差，进而引发不确定性问题。这种不确定性可能会影响系统的稳定性，使其无法按照预期轨迹运行，因此在设计控制系统时，必须充分考虑这些不确定因素的影响。

同步现象是研究系统行为的重要工具之一，尤其是在分析非线性系统和复杂网络时。同步指的是两个或多个系统在相互作用过程中趋于一致或按照某种比例关系运行的状态。根据不同的应用场景，同步可以分为多种类型，包括完全同步、广义同步、指数同步、相位同步、滞后同步、准同步、比例同步以及反同步等。在本研究中，我们关注的是比例同步（scalar projective synchronization），它是指两个系统在同步过程中，其状态轨迹之间保持固定比例关系。这种同步方式在处理具有不确定性和外部扰动的系统时，能够有效提升系统的鲁棒性，确保其在面对干扰时仍能保持稳定运行。

在处理比例同步问题时，研究者通常采用统一的控制策略，以确保系统的同步性不受参数不确定性和外部扰动的影响。本研究提出的非脆弱控制方法，正是为了应对这种不确定性而设计的。非脆弱控制意味着在控制参数受到扰动或误差影响时，系统仍能保持同步性。这种控制方式在许多工程系统中具有重要的应用价值，尤其是在需要高可靠性和稳定性的场景中。为了实现非脆弱控制，本研究考虑了两种常见的不确定性类型：加性不确定性（additive uncertainty）和乘性不确定性（multiplicative uncertainty）。加性不确定性通常指外部扰动或系统输入的偏差，而乘性不确定性则可能来源于系统内部参数的变化或传感器的误差。通过综合考虑这两种不确定性，研究者能够设计出更具鲁棒性的控制器，从而提高系统的整体性能。

为了分析系统的能量特性，本研究引入了存储函数（storage function）和供应率（supply rate）的概念。存储函数用于衡量系统内部能量的存储情况，而供应率则表示系统从外界接收能量的速率。通过分析这些输入输出关系，可以评估系统的被动性（passivity）、L2-L∞性能、H∞性能以及耗散性（dissipativity）等关键指标。其中，耗散性理论强调系统仅能存储和消耗外界提供的能量，而不能自主产生能量。这一理论在许多工程应用中至关重要，因为它能够确保系统在面对外界扰动时仍能保持稳定性和效率。然而，如果对系统外部扰动的信息不足，可能会导致供应率的不确定性，进而影响系统的整体性能。因此，引入鲁棒性更强的性能指标，如H∞性能和L2-L∞性能，有助于提高系统在面对不确定性和扰动时的适应能力。

为了更全面地评估系统的性能，本研究提出了一种新的性能指标——扩展耗散性（extended dissipativity）。这一指标不仅涵盖了传统的被动性、耗散性和H∞性能，还进一步整合了L2-L∞性能，从而提供了一个更加综合的评估框架。扩展耗散性能够更准确地描述系统在不同条件下对能量的处理能力，使其在处理复杂工程系统时更具适用性。通过结合扩展耗散性理论和非脆弱控制策略，研究者能够设计出更加稳健的控制器，确保系统在面对不确定性时仍能保持良好的同步性和稳定性。

在实际应用中，研究者通常采用Lyapunov-Krasovskii函数（LKFs）来分析系统的稳定性。LKFs是一种强大的工具，能够有效处理具有时滞的系统，并提供对系统行为的定量评估。本研究采用了一种增强型LKFs（augmented LKF），以更全面地捕捉系统的动态特性。为了降低分析结果的保守性，研究者还应用了Jensen不等式（Jensen’s inequality）来估计LKFs中的积分项，从而提高系统的稳定性分析精度。此外，研究者还通过定义线性矩阵不等式（LMIs）的条件，确保系统在满足扩展耗散性要求的同时，保持鲁棒性。

在数值实验部分，研究者使用MATLAB软件对所提出的控制策略进行了验证。通过构建一个具有模糊特性的四水箱过程（Quadruple-Tank Process, QTP）模型，研究者展示了该方法在实际工程系统中的应用效果。四水箱过程是一种典型的多变量实验室系统，广泛用于研究复杂控制问题。该系统包含四个同规格的圆柱形水箱和一个储水池，以及两个水泵，分别通过控制阀调节水流方向。通过模拟实验，研究者验证了所提出的控制方法在面对不确定性时的有效性，并进一步展示了其在同步和耗散性方面的优越性能。

本研究的成果不仅在理论层面具有重要意义，而且在实际应用中也展现出较高的可行性。通过引入非脆弱控制策略和扩展耗散性理论，研究者能够设计出更具鲁棒性的控制器，从而提升系统在面对不确定性时的稳定性。此外，研究者还通过构建增强型LKFs并应用Jensen不等式，提高了系统的分析精度，降低了保守性。这些方法的结合使得系统在复杂环境下仍能保持良好的同步性和性能表现。最终，通过四水箱过程的实际案例，研究者进一步验证了所提出理论的有效性，证明了该方法在工程实践中的应用潜力。

本研究的主要贡献在于以下几个方面：首先，它探讨了具有外部扰动和参数不确定性的T-S模糊系统的比例同步和扩展耗散性性能。通过对比现有研究成果，研究者发现，许多现有的控制方法在面对参数不确定性时容易导致系统性能的下降，因此提出了一种更为通用和实用的控制策略。其次，研究者考虑了加性不确定性与乘性不确定性对系统控制的影响，并通过非脆弱控制方法有效应对了这些不确定性，从而提高了系统的鲁棒性。第三，研究者采用增强型LKFs并结合Jensen不等式，提高了系统稳定性分析的精度，降低了保守性。第四，通过构建一个实际的多变量实验室系统模型，研究者展示了所提出方法在工程实践中的应用价值，并通过数值模拟验证了其有效性。

在实际工程应用中，非脆弱控制策略和扩展耗散性理论的结合能够显著提升系统的稳定性和可靠性。特别是在处理具有复杂非线性特性和不确定性的系统时，这种综合方法能够有效应对各种扰动和误差，确保系统在不同条件下仍能保持良好的运行状态。此外，通过构建增强型LKFs并采用Jensen不等式，研究者能够更准确地评估系统的动态行为，从而为控制器的设计提供更可靠的理论依据。这些方法的结合不仅提升了系统的分析精度，还增强了其在实际应用中的适应能力。

本研究还强调了在设计控制系统时，必须充分考虑外部扰动和不确定性的影响。由于这些因素的存在，系统的同步性和稳定性可能会受到影响，因此需要引入非脆弱控制策略来增强系统的鲁棒性。通过结合扩展耗散性理论，研究者能够设计出更加全面的性能指标，从而更准确地评估系统的运行状态。这种综合方法不仅适用于T-S模糊系统，还能够推广到其他类型的非线性系统和复杂网络，具有广泛的应用前景。

综上所述，本研究通过引入非脆弱控制策略和扩展耗散性理论，探讨了T-S模糊系统在存在不确定性时的鲁棒性能。通过构建增强型LKFs并应用Jensen不等式，研究者提高了系统的稳定性分析精度，降低了保守性。同时，通过数值模拟和实际案例验证，研究者展示了所提出方法在工程实践中的有效性。这些成果不仅为非线性系统的控制提供了新的思路，也为复杂工程系统的设计和优化提供了重要的理论支持。未来的研究可以进一步探索这些方法在更多复杂系统中的应用，以提升系统的整体性能和适应能力。