分数阶微积分视角下猎物-捕食者种群模型的混沌分析与动力学特性研究

本研究针对传统整数阶生态模型在描述种群动态时的局限性，创新性地将Caputo和Caputo-Fabrizio(C-F)分数阶算子引入三维猎物-捕食者模型。通过固定点理论证明解的存在唯一性，利用Sumudu变换分析稳定性，结合Adams-Bashforth数值方法揭示不同分数阶导数下的分岔与混沌行为，为生态系统的非线性动力学研究提供了新范式。

　　

在生态学研究中，经典的整数阶微分方程模型长期占据主导地位，但这些模型往往难以准确刻画种群动态中普遍存在的记忆效应和非局部特性。随着分数阶微积分的发展，科学家们发现其独特的遗传性和记忆特性更适于描述生物系统的复杂行为。传统猎物-捕食者模型在解释种群密度波动、疾病传播等非线性现象时存在明显局限，特别是无法有效模拟现实生态系统中观察到的混沌现象和分岔行为。

针对这一科学难题，研究人员创新性地将现代分数阶算子理论引入生态建模领域。通过将Caputo和Caputo-Fabrizio(C-F)两种具有非奇异核的分数阶导数算子整合到三维猎物-捕食者系统中，构建了更符合生物实际的新型生态动力学模型。这项发表在《Nonlinear Science》上的研究，不仅从理论上完善了分数阶生态模型的基础框架，还为理解种群交互的复杂动力学行为提供了新的分析工具。

研究主要采用了三种关键技术方法：首先运用固定点理论证明模型解的存在唯一性；其次通过Sumudu变换结合Laplace变换分析系统的稳定性条件；最后开发了基于Lagrange插值的Adams-Bashforth三步数值算法，实现了分数阶生态模型的高效数值模拟。这些方法的综合运用确保了理论分析与数值实验的可靠性。

在模型构建与理论分析部分，研究基于经典的Rosenzweig-MacArthur(RM)模型框架，引入分数阶导数重构动力学方程。通过定义2.1和2.2严格表述了Caputo和C-F算子的数学形式，其中C-F算子因其指数核特性更适于描述生态记忆效应。定理5.1证明了在适当条件下模型解的唯一性，为后续分析奠定基础。

稳定性分析章节展示了如何将Sumudu变换应用于分数阶系统。通过将时域方程转换到频域，推导出系统稳定的充分条件。特别值得注意的是，研究揭示了分数阶导数阶数?对系统稳定性的调控作用，这为理解种群波动的内在机制提供了新视角。

Hopf分岔分析部分给出了判断系统产生周期解的关键条件。引理7.1明确指出当分数阶参数?达到临界值?*∈(0,1)时，系统会发生Hopf分岔，这一发现解释了野外观察到的种群周期性振荡现象。

数值模拟章节对比了两种分数阶算子的计算效果。图1-3展示了不同分数阶导数下系统的分岔图和混沌吸引子，直观呈现了从稳态到混沌的转迁过程。特别地，研究通过0-1测试算法定量验证了系统的混沌特性，证实分数阶模型能更丰富地再现自然种群的复杂动态。

结论部分强调，这项研究通过将现代分数阶算子理论与生态建模相结合，突破了传统整数阶模型的局限性。Caputo算子的弱奇异核特性适合描述长期记忆效应，而C-F算子的非奇异指数核更适于刻画短期记忆过程。两种算子的对比研究为不同时空尺度下的生态现象建模提供了选择依据。

这项工作的科学价值主要体现在三个方面：首先建立了分数阶生态模型的理论分析框架；其次开发了高效的数值算法实现工具；最重要的是揭示了分数阶导数阶数作为新的分岔参数，可以调控系统的稳定性与混沌行为。这些发现不仅推动了理论生态学的发展，也为生物资源管理、流行病防控等应用领域提供了新的数学模型支持。未来研究可进一步探索分数阶算子与其他生态因素（如环境噪声、空间异质性）的耦合效应，以更全面地理解自然生态系统的复杂行为。