基于分形分数阶微积分的阿尔茨海默病复杂网络稳定性与混沌分析研究

本研究针对阿尔茨海默病(AD)这一重大公共卫生问题，创新性地建立了包含tau蛋白和β-淀粉样蛋白(Aβ)在脑内/血液中动态分布的六室分形分数阶数学模型。研究人员采用Fractal-Fractional Mittag-Leffler(FFM)算子，通过Banach不动点定理和Lyapunov稳定性分析，揭示了神经退行性疾病的传播机制，并开发了线性反馈控制策略来管理混沌状态。结果表明分形分数阶模型比传统整数阶模型更能准确描述AD病理特征，为开发新型干预策略提供了理论依据。

　　

阿尔茨海默病(Alzheimer's disease, AD)作为最常见的神经退行性疾病，正随着全球人口老龄化成为日益严峻的公共卫生挑战。这种疾病以脑内tau蛋白异常磷酸化形成的神经纤维缠结和β-淀粉样蛋白(Aβ)沉积形成的老年斑为特征，导致进行性认知功能衰退。尽管科学家们已投入大量研究，但目前仍缺乏能有效阻止或逆转疾病进展的治疗手段。更令人困扰的是，AD的发病机制涉及复杂的非线性动力学过程，包括tau蛋白和Aβ在脑组织与血液循环中的双向运输、神经元-胶质细胞相互作用等，这些过程表现出显著的自相似性和长程记忆效应，传统整数阶微分方程难以准确描述。

针对这一挑战，来自近东大学( Near East University)、苏丹再纳阿比丁大学(Universiti Sultan Zainal Abidin)等机构的研究团队在《Scientific Reports》发表了一项创新研究。他们首次将分形分数阶微积分(Fractal-Fractional Calculus)应用于AD建模，建立了包含tau蛋白和Aβ在脑内/血液中动态分布的六室数学模型，通过理论分析和数值模拟揭示了疾病传播的非线性动力学特征，并开发了有效的混沌控制策略。这项工作为理解AD的复杂病理机制提供了新视角，也为开发靶向治疗策略奠定了理论基础。

研究人员主要采用了以下关键技术方法：(1)构建包含P₁(脑内tau)、P₂(血液tau)、B₁(脑内Aβ)、B₂(血液Aβ)、X(神经元)和Z(星形胶质细胞)的六室分形分数阶模型；(2)应用Banach不动点定理和Krasnoselskii型定理证明解的唯一性；(3)采用下一代矩阵法计算基本再生数R₀；(4)基于Lyapunov函数进行全局稳定性分析；(5)开发线性反馈混沌控制策略；(6)采用牛顿多项式插值法进行数值求解。

【模型构建与分析】
研究首先建立了基于FFM算子的AD动力学模型，将tau蛋白和Aβ分别划分为脑内和血液两个区室，同时纳入星形胶质细胞的关键调节作用。通过Banach不动点定理证明了模型解的唯一性，并确定了疾病自由平衡点E⁰和地方病平衡点E^*。模型分析显示，当基本再生数R₀<1时系统趋于无病稳态，R₀>1时疾病持续存在。

【稳定性与混沌控制】
研究通过特征值分析和构造Lyapunov函数，证明了平衡点的局部和全局渐近稳定性。特别值得注意的是，团队开发了线性反馈控制策略，通过引入控制参数?₁-?₆成功将混沌系统导向稳定状态。数值模拟验证了控制策略的有效性，为潜在的治疗干预提供了理论支持。

【数值模拟与验证】
研究采用牛顿多项式插值法进行数值求解，比较了不同分形维数(β)和分数阶数(α)下的系统行为。结果显示，降低α值（增强记忆效应）会导致危险蛋白浓度显著升高，而β值变化影响动力学曲线的粗糙度。与传统的整数阶模型相比，分形分数阶模型更能反映AD病理过程中的自相似特征和长程记忆效应。

这项研究通过创新的数学建模方法，首次系统揭示了tau蛋白和Aβ在脑内-血液系统中的非线性动力学特征。研究证实分形分数阶算子比传统微分算子更适合描述AD的复杂病理过程，特别是能更好地捕捉其长程记忆效应和自相似特性。所建立的模型为理解AD进展提供了定量分析工具，开发的混沌控制策略也为潜在的治疗干预指明了方向。此外，研究提出的建模框架可扩展应用于其他神经退行性疾病的机制研究，具有重要的方法论意义和临床应用价值。未来工作可进一步整合小胶质细胞的作用，或引入时滞效应使模型更贴近生物实际。