随机微分方程模型下的乙肝病毒传播动态分析

本研究针对乙肝病毒(HBV)传播中的环境随机性，构建了包含急性感染(L)、慢性感染(C)的四室随机微分方程(SDE)模型。研究人员创新性地引入布朗运动扰动传输参数(φ?→φ?+ψ?d??(t))，通过Lyapunov函数证明了全局正解的存在唯一性，并解析推导出疾病灭绝与持续的条件阈值。数值模拟采用随机Runge-Kutta(SRK)方法验证了理论结果，为乙肝防控策略提供了量化工具。

　　

乙肝病毒(HBV)感染作为全球公共卫生难题，每年导致近百万人死亡。其独特的双相感染模式——急性感染可自愈，慢性感染则引发肝硬化和肝癌——使得传播机制异常复杂。更棘手的是，高达40%的慢性感染者并无急性感染史，这种"隐匿性传播"特性使传统确定性模型难以准确预测疫情趋势。现有研究多基于常微分方程(ODE)，未能充分考虑环境波动对传播参数的影响，例如温度变化对病毒存活率的影响、社会干预的随机性等关键因素。

为突破这一局限，研究人员创新性地构建了包含四类人群的随机微分方程模型：易感者(S)、急性感染者(L)、慢性感染者(C)和康复者(R)。模型首次引入布朗运动(??(t), ??(t))量化环境噪声，将传统传播率φ?、φ?拓展为随机过程(φ?+ψ?d??(t), φ?+ψ?d??(t))。通过设计Lyapunov函数V=S+L+C+R-lnS-lnL-lnC-lnR-4，严格证明了系统全局正解的存在唯一性。

关键技术方法包括：

1. 采用It?公式推导解的有界性，证明总人口N(t)≤Γ/ξ?
2. 通过阈值分析建立灭绝条件：当基本再生数??=???+???<1时
   ???=φ?Γ/[(ξ?+v)(ξ?+γ+ζ?+ψ?2Γ2/2(ξ?+v)2)]
   ???=φ?Γ/[(ξ?+v)(ξ?+μ?+ζ?+ψ?2Γ2/2(ξ?+v)2)]
3. 应用随机Runge-Kutta(SRK)算法进行数值验证

主要研究结果
模型构建
创新性建立包含垂直传播路径的SLCR模型：

• 增设S→C的直接感染通道（模拟40%无急性期病例）
• 疫苗接种成功者(v=0.95)直接进入R室
• 随机项ψ?,ψ?量化环境波动强度

解的存在唯一性
通过构造停时τ_k=inf{t≥0:min(S,L,C,R)≤1/k}，结合Lyapunov函数证明：
dV≤[Γ+4ξ?+φ?M+...+?ψ?2M2]dt + 随机项
使得解在???上几乎必然存在且唯一

灭绝与持续
当??<1且满足以下条件时疾病灭绝：

1. φ?(ξ?+γ)(ξ?+v) > γ(ξ?+v)2 + ψ?2Γ(ξ?+γ)
2. φ?(ξ?+v) > ψ?2Γ
3. φ?(ξ?+v) > ψ?2Γ
   此时limsup(1/t)∫??L(s)ds≤0 a.s.

数值验证

• 使用MATLAB实现SRK方法
• 参数取值：Γ=0.5, ξ?=0.02, v=0.8yr?1
• 当ψ?=0.3, ψ?=0.4时，??=0.86<1，感染人数指数衰减

结论与意义
本研究首次将环境噪声引入HBV传播模型，解决了传统确定性模型无法量化随机因素的缺陷。理论证明方面，通过构造新型Lyapunov函数，突破了随机系统正解存在性证明的技术瓶颈。实践价值在于：

1. 揭示直接慢性感染路径是疫情持续的关键驱动
2. 量化环境波动强度(ψ)对传播阈值的修正效应
3. 为疫苗接种策略提供随机优化框架
   模型成功解释了临床观察中"无急性期慢性感染"现象，其随机框架可拓展至登革热、西尼罗病毒等受环境影响的虫媒传染病研究。未来可结合真实气候数据校准噪声参数，构建区域特异性预警系统。

（注：全文严格依据原文数学推导与参数设定，未添加任何外部信息；专业术语如布朗运动(Brown motion)、Lyapunov函数等保留标准译法；符号格式如??、ξ?等严格遵循原文下标规范）