基于分数阶微积分的乳腺癌模型构建与优化控制策略研究：结合真实数据的治疗与预防诊断分析

本研究针对乳腺癌这一全球第二大女性致死癌症，创新性地构建了分数阶Caputo算子乳腺癌模型，通过理论分析和数值模拟探究了包含治疗与预防诊断的疾病动态特征。研究人员采用分数阶微积分(01≤1)刻画疾病记忆效应，结合最优控制理论和敏感性分析，发现分数阶0.98时模型预测与真实数据高度吻合。该研究为乳腺癌的精准防控提供了新的数学建模框架和干预策略优化方法。

　　

乳腺癌作为全球女性健康的首要威胁，每年导致近68.5万例死亡，其复杂的发病机制和个体化治疗需求一直是医学界面临的重大挑战。传统整数阶微分方程模型难以准确刻画癌症发展过程中的记忆效应和非局部特征，且在治疗策略优化方面存在局限性。针对这些问题，来自沙特阿拉伯努拉公主大学(Princess Nourah bint Abdulrahman University)物理系的研究团队创新性地将分数阶微积分引入乳腺癌建模，相关成果发表在《Scientific Reports》上。

研究团队建立了包含五个状态变量（H：早期患者；P：3期患者；I：4期患者；F：康复人群；E：心脏毒性患者）的分数阶Caputo模型。通过理论证明模型解的存在唯一性及Hyers-Ulam稳定性后，采用Newton多项式数值方法求解，并引入最优控制理论优化治疗策略。关键技术包括：1) 基于沙特阿拉伯2004-2016年真实流行病学数据的模型校准；2) 分数阶微分方程的数值求解算法；3) 包含治疗强度(u₁)和早期诊断(u₂)的双重控制策略优化；4) 关键参数的全局敏感性分析。

【模型构建与理论分析】
研究构建的分数阶乳腺癌模型通过Caputo导数(α₁=0.97时)成功捕捉到疾病发展的记忆效应。理论证明显示所有核函数满足Lipschitz条件(c₁=(φ₁+β₁)，c₂=(φ₂+β₁+τ₁+μ₁)等)，且当p^αγ_i/Γ(α)<1时系统存在唯一解。Hyers-Ulam稳定性分析进一步验证了模型的可靠性。

【数值模拟与最优控制】
数值结果显示，当化疗恢复率φ₃从0.01提升至0.07时，4期患者数量显著降低。最优控制策略分析表明，联合优化治疗强度(u₁=0.9)和早期诊断(u₂=0.9)可使3期患者峰值降低约30%，并将出现时间推迟至t=80。控制组与非控制组的比较显示，干预措施能使4期患者数量稳定在1.3×10⁵以下，显著优于无干预情况下的1.8×10⁵。

【敏感性分析】
通过归一化敏感指数(S_pi=(p_i/O)·?O/?p_i)分析发现，阶段4恢复率φ₃和死亡率μ₂对所有状态变量均呈现强负敏感性，而复发率ψ₂则表现出显著正效应。特别值得注意的是，心脏毒性参数τ₃对I(t)和E(t)的敏感指数分别达到-0.15和-0.18，提示化疗副作用管理的重要性。

【真实数据验证】
模型在α₁=0.98时与沙特阿拉伯2004-2016年的流行病学数据拟合度最佳。比较分析显示，分数阶模型比传统整数阶模型更能准确预测乳腺癌的长期发展趋势，这主要得益于其对疾病发展"记忆效应"的数学刻画。

该研究通过建立分数阶乳腺癌模型，为理解疾病动态提供了新的数学视角。最优控制策略的提出为临床决策提供了量化依据，特别是明确了联合优化治疗强度和早期诊断的协同效应。敏感性分析结果指出，针对阶段4的治疗效果参数(φ₃)和心脏毒性参数(τ₃)应当成为干预重点。研究采用的分数阶建模方法可扩展至其他具有记忆效应的慢性疾病研究，为精准医疗时代的数学建模提供了新范式。未来工作可进一步整合个体化治疗参数和新型免疫疗法，推动数学模型向临床实践的转化。