基于Legendre伪谱元方法的高精度消失延迟Volterra积分微分方程数值求解框架

本文推荐研究人员针对传统Runge-Kutta等方法在求解线性消失延迟模型时的局限性，开发了多步Legendre伪谱伽辽金法(MSLPSGM)用于求解消失延迟Volterra积分微分方程(VDVIDEs)。该研究通过建立子区间长度和逼近次数的误差上界，实现了谱收敛速率，有效解决了长计算区间和高振荡解等挑战性问题，为复杂积分微分方程的求解提供了新工具。

　　

在计算数学领域，消失延迟Volterra积分微分方程(VDVIDEs)的求解一直是个棘手难题。这类方程在生物数学、控制理论等领域有重要应用，但传统数值方法如Runge-Kutta在面对线性消失延迟模型时往往捉襟见肘——由于右端函数在网格点信息缺失，不得不依赖局部插值过程，导致精度和效率双双受限。更棘手的是，当遇到长计算区间、高振荡解或陡梯度情况时，单步谱方法要么需要大量配点导致系统病态，要么完全失效。

针对这些挑战，湖南大学的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表了一项突破性研究。他们基于伪谱元方法的鲁棒性，创新性地提出了多步Legendre伪谱伽辽金法(MSLPSGM)，为VDVIDEs的求解提供了高精度数值框架。这项研究不仅建立了关于解及其导数的误差上界，更通过理论证明和大量数值实验证实：随着子区间长度减小和逼近次数增加，误差呈谱速率收敛，在各类挑战性场景下均展现出卓越的稳健性和精确性。

研究团队主要采用了三项关键技术：1）多步离散策略，通过粗-细网格划分处理长计算区间；2）Legendre伪谱伽辽金法，利用Gauss积分公式近似内积运算；3）严格的收敛性分析框架，基于函数空间范数和插值理论建立误差估计。这些方法的有机结合，使MSLPSGM能同时攻克长时程计算、高振荡解和陡梯度三大难题。

【多步Legendre伪谱伽辽金法】部分详细阐述了方法的实施步骤：首先通过递归关系σ(z_k-1)=z_k生成粗网格，再在每个子区间应用Legendre伪谱离散。创新性地采用投影算子I^x_{M处理插值问题，并建立离散内积(·,·)M与连续内积的等价关系。}

【收敛分析】部分给出了严格的理论保证：当核函数H₁∈C^r(Ω_{1)、H2∈C^r(Ω2)时，证明了解的存在唯一性，并推导出误差估计式‖E?1‖∞和‖E?2‖∞的显式上界，揭示其随Mn增大呈指数衰减的规律。}

【数值实验】部分通过多组对比实验验证了方法的优越性：在T=100的长区间计算中仍保持10^-10量级精度；对振荡频率达100Hz的解，相对误差不超过0.01%；处理梯度变化达10⁶量级的解时，计算稳定性显著优于传统方法。定义的误差指标E?₁=φ-φ_M和E?₂=φ′-φ′_M全面评估了算法性能。

在【结论与展望】中，Yin Yang、Pai Yao和Emran Tohidi指出，MSLPSGM的成功实施为复杂延迟微分方程的求解开辟了新途径。特别值得注意的是，该方法对弱奇异核、高阶模型等更复杂情况的扩展潜力。研究团队同时提出了三个未来方向：非均匀网格自适应策略、非线性延迟项的精确处理，以及基于深度学习的参数优化算法。这项研究不仅解决了计算数学领域的核心难题，更为生物系统建模、工程控制等应用领域提供了强有力的数值工具。