分数阶锥不变系统分布式时滞稳定性分析的Legendre伪谱元方法研究

为解决传统Runge-Kutta方法在求解线性消失延迟模型时的局限性，研究人员开发了多步Legendre伪谱伽辽金法(MSLPSGM)用于求解消失延迟Volterra积分微分方程(VDVIDEs)。该框架通过子区间划分和高阶近似，实现了长计算区间和高振荡解的光谱级收敛，数值实验验证了其对陡峭梯度和大计算区间问题处理的鲁棒性，为复杂积分微分方程求解提供了新工具。

　　

在微分方程数值求解领域，消失延迟Volterra积分微分方程(VDVIDEs)因其在生物振荡、神经动力学等领域的广泛应用而备受关注。传统Runge-Kutta方法在求解此类问题时面临严峻挑战——当处理线性消失延迟模型φ'(z)=b(z)φ(qz)时，由于右端函数在网格点信息缺失，不得不依赖局部插值过程，这不仅降低计算精度，还可能导致数值不稳定。更复杂的是，随着计算区间延长或解呈现高振荡特性时，单步谱方法的计算效率会急剧下降。

针对这些瓶颈问题，湖南大学国家超算长沙中心的研究团队创新性地提出了多步Legendre伪谱伽辽金法(MSLPSGM)。该方法通过将计算域划分为多个子区间，在每个子区间上采用Legendre多项式逼近，并利用Gauss积分精确计算内积，有效解决了传统方法在长计算区间[T,0]和大梯度问题中的局限性。研究证明，随着子区间长度减小和近似阶次提高，该方法能实现解及其导数的光谱精度收敛，相关成果发表在《Mathematics and Computers in Simulation》。

关键技术包括：(1)构建双层网格系统，先通过粗网格z_k=σ^-1(z_k-1)确定延迟点位置，再在细网格上实施谱离散；(2)采用Legendre-Gauss点进行插值和积分计算；(3)建立误差分析框架，证明‖φ-φ_M‖_∞≤CM^1-r‖φ‖_r的收敛性。

【多步Legendre伪谱伽辽金方法】
通过将全局区间I=[0,T]划分为N个子区间I_n，在每个I_n上建立以Legendre多项式为基函数的近似空间P_M(Λ)。利用延迟函数σ(z)的单调性条件（σ(z)≤p₁z且dσ/dz≥p₂>0），确保网格生成的可操作性。数值实验显示，对于解含e^100zcos(50z)的高振荡问题，当M=12时L²误差可达10^-9量级。

【收敛性分析】
基于Legendre插值算子I_M^x的稳定性，结合核函数H₁∈C^r(Ω₁)和H₂∈C^r(Ω₂)的有界性，推导出误差估计式‖E?₁‖₂≤Ch^k+1M^-k‖φ^(k)‖。特别地，当解φ∈H^m(I)时，可获得指数收敛速率。

【数值实验】
测试案例包括三类典型问题：(1)大计算区间(T=100)的线性VDVIDE，MSLPSGM仅需N_c=5个粗区间即实现10^-6精度；(2)含e^-z/(z+0.1)弱奇异核的问题，通过自适应网格获得优于传统配置法的结果；(3)工业中的刚性延迟问题，验证了方法对?φ/?z≥10³情形的稳定性。

该研究建立了VDVIDEs数值求解的新范式，其创新性体现在：(1)首次将伪谱伽辽金框架与多步策略结合，克服了单步谱方法在长区间计算中的病态问题；(2)严格的误差分析为延迟积分微分方程提供了普适性理论工具；(3)计算实例证实方法对工程中常见的高频振荡、边界层等现象具有独特优势。未来可进一步拓展至分数阶时滞系统和非线性中立型延迟方程的求解。