高阶线性隐式能量稳定方法在退化迁移率Cahn–Hilliard模型中的应用研究

本文针对退化迁移率Cahn–Hilliard（CH）方程的非线性与计算稳定性难题，提出了一种结合松弛化思想（relaxation）与外推技术（extrapolation）的Runge–Kutta（RK）方法——RERK。该方法实现了线性隐式求解、高阶精度及离散能量稳定性，并通过经典/分数阶/非局部CH模型的数值实验验证了其有效性，为相分离模拟提供了高效计算工具。

　　

相分离现象在材料科学、生物力学等领域广泛存在，其数学模型Cahn–Hilliard（CH）方程因非线性项和退化迁移率（degenerate mobility）导致数值求解困难。传统方法如凸分裂法（convex splitting）或稳定化方法虽能保持能量稳定性（energy stability），但往往局限于低阶时间精度。如何实现高阶、线性隐式且能量稳定的数值方法，成为计算数学领域的核心挑战。

针对这一难题，研究人员通过标量辅助变量（Scalar Auxiliary Variable, SAV）重构方程，结合Runge–Kutta（RK）框架，创新性地引入松弛化参数（relaxation parameter）γ_n和外推技术，构建了RERK方法。该方法突破传统代数稳定RK方法的限制，实现了三大优势：1）仅需求解线性方程组；2）时间方向任意高阶精度；3）严格保持离散能量耗散律。数值实验表明，RERK在经典CH方程（A=-Δ）、分数阶CH方程（A=(-Δ)^β, 1/2<>

关键技术方法

1. SAV重构：将非线性能量项转化为标量辅助变量，避免直接处理非凸性；
2. 松弛化技术：通过动态调整γ_n保证能量单调递减；
3. 外推法：将非线性项显式处理，实现线性隐式求解；
4. 傅里叶谱空间离散：用于分数阶算子的高效计算。

主要研究结果
Relaxation extrapolated Runge–Kutta methods

• 理论证明松弛参数γ_n≈1，确保方法稳定性；
• 耦合/解耦版本（CRERKs/DRERKs）均保持能量耗散特性。

Numerical experiments

• 经典CH模型：四阶RERK方法比二阶SAV法计算效率提升3倍；
• 分数阶CH模型：在β=0.75时仍保持能量误差<10^-6；
• 非局部CH模型：核函数J_δ(x)参数敏感性分析显示方法鲁棒性。

结论与意义
该研究为退化迁移率CH模型提供了通用数值框架，其创新性体现在：1）首次将松弛化技术与SAV结合，突破传统RK方法的代数稳定性限制；2）解耦设计显著降低多维问题计算复杂度。相关成果发表于《Mathematics and Computers in Simulation》，对多相流模拟、生物膜动力学等跨学科研究具有重要工具价值。未来可扩展至更复杂的多组分相场模型（multicomponent phase-field models）。