基于Galerkin Mittag-Leffler方法的多维分数阶最优控制问题求解及不等式约束处理

研究人员针对含等式与不等式约束的多维分数阶最优控制问题（MFOCPs），提出基于Galerkin Mittag-Leffler（G-M.L.M）方法的数值求解策略。通过推导Mittag-Leffler函数的Riemann-Liouville算子矩阵，将问题转化为代数方程组，实现了高精度计算。实验验证表明，该方法在部分案例中可获得精确解，为复杂分数阶系统优化提供了新工具。

　　

在工程与科学领域，最优控制理论是优化动态系统的核心工具，而分数阶微积分的引入为描述具有记忆效应的复杂系统提供了新范式。然而，多维分数阶最优控制问题（MFOCPs）的求解面临两大挑战：一是传统整数阶方法难以处理非局部特性的Caputo导数；二是实际系统中普遍存在的不等式约束导致求解复杂度剧增。现有研究多聚焦于无约束或等式约束问题，对不等式约束的MFOCPs缺乏高效数值解法。

针对这一瓶颈，研究人员开展了基于Galerkin Mittag-Leffler（G-M.L.M）方法的系统性研究。该团队首先建立了Mittag-Leffler多项式的Riemann-Liouville（R.L.）分数阶积分算子矩阵，通过Galerkin投影技术将原问题转化为代数方程组。关键创新在于：1）构建了含不等式约束的泛函极值框架；2）推导了Mittag-Leffler多项式的收敛界（误差限为δ/((υ+1)!√(2υ+3))）；3）设计了适用于多维系统的分块矩阵算法。

技术方法上，研究采用函数逼近理论将状态变量X(?)和控制变量V(?)展开为Mittag-Leffler基函数的线性组合，利用Lagrange乘子处理约束条件，通过最小二乘法求解系数矩阵。数值实验选取Van der Pol振荡器等4个经典案例，对比Legendre小波等现有方法验证精度。

研究结果方面：

1. 函数逼近：证明Mittag-Leffler多项式在L²空间具有最优逼近特性，当υ=4时即可精确重构目标函数。
2. 误差分析：建立误差估计定理‖w-^υw‖_L≤δ/((υ+1)!√(2υ+3))，其中δ为函数(υ+1)阶导数的上界。
3. 算子矩阵：推导出R.L.积分算子Ω=diag[Γ(1)/Γ(1+ξ),...,Γ(υ+1)/Γ(υ+1+ξ)]，实现分数阶积分的高效计算。
4. 数值验证：在ξ=1的标准案例中，所得解与解析解cosh(√2?)+βsinh(√2?)完全吻合，证实方法在整数阶情形的兼容性。

结论部分强调，该方法首次将Mittag-Leffler多项式与Galerkin框架结合，突破不等式约束的处理难题。相比Legendre小波等方法，计算效率提升约40%，特别适用于高维分数阶系统。未来可扩展至变阶次分数阶方程和随机控制问题，为智能控制、生物医学工程等领域提供新算法支撑。论文发表于《Mathematics and Computers in Simulation》，为分数阶优化领域树立了新的技术标杆。