多域谱配点法在带孔曲域偏微分方程求解中的创新应用

本文推荐研究人员开发了一种结合区域分解与映射技术的多域谱配点法，用于求解带孔曲域中的变系数二阶椭圆方程和时变对流-扩散-反应方程。通过将复杂几何域分解为规则子域并映射至参考单元(?1,1)×(?1,1)，利用Legendre-Gauss-Lobatto节点谱方法实现高精度数值模拟。该方法突破了传统谱方法在曲域应用中的局限性，显著提升了非齐次边界条件的处理效率，为工程与科学计算中的复杂域问题提供了新思路。

　　

在科学与工程计算领域，求解复杂几何域中的偏微分方程(PDEs)一直是重大挑战。传统谱方法虽在规则域中展现"指数收敛"优势，但面对带孔洞的曲域时，其应用常受限于几何适配性和边界条件处理。现有方法如虚构域法需构造人工边界，谱Galerkin法面临齐次化难题，而有限元法在精度上存在瓶颈。如何实现曲域问题的高效高精度求解，成为计算数学领域亟待突破的关键问题。

针对这一挑战，研究人员提出了一种融合区域分解与坐标映射的创新谱配点法。该方法首先将带孔曲域剖分为多个子域，通过极坐标变换将各子域映射为规则区域，再线性变换至标准参考单元(?1,1)×(?1,1)。基于Legendre-Gauss-Lobatto(LGL)节点的谱配点法在变换后的域上执行计算，有效保留了谱方法的高精度特性。研究通过数值实验验证了该方法对变系数二阶椭圆方程和时变对流-扩散-反应(ADR)方程的求解能力，即使对振荡解也展现出优异性能。

关键技术包括：(1)自适应区域分解策略，将复杂几何分解为可映射子域；(2)两级坐标变换体系(极坐标+线性变换)实现曲域标准化；(3)LGL节点上的Lagrange插值及微分矩阵构建；(4)非齐次边界条件的直接嵌入处理。

主要研究结果

1. 二阶椭圆方程求解
   针对含两个孔洞的曲域变系数问题?div(β(x,y)?U)+α(x,y)U=F，通过子域映射将原方程转化为标准域上的等效形式。数值实验显示，即使对于β(x,y)梯度显著变化(0<>₁≤β≤b₂)和α(x,y)非负条件，方法仍保持指数级收敛。

2. 时变ADR方程扩展
   将方法推广至?_tU+??(wU)?μΔU?λU=F的求解，其中w为常向量场。通过时间离散与空间谱配点的结合，成功处理了曲域中对流主导与扩散反应的耦合效应，验证了方法对瞬态问题的适用性。

结论与意义
该研究创立的多域谱配点框架具有三重突破性：(1)几何适应性方面，通过"分解-映射"策略首次实现带孔曲域的高精度谱计算；(2)算法效能上，省去齐次化步骤，直接处理非齐次边界；(3)精度优势显著，在孔洞数量有限时远超有限元精度。尽管多孔复杂域可能增加计算成本，但为航空航天、生物流体等领域的曲域PDEs求解提供了新范式。研究结果发表于《Mathematics and Computers in Simulation》，为计算数学与工程应用的交叉创新树立了标杆。