随机格点动力系统不变测度的离散化：基于BEM方法的数值逼近与收敛性分析

本研究针对具有非线性噪声的随机反应-扩散格点动力系统(SLDS)，采用向后欧拉-马拉尤姆(BEM)方法进行时间离散，首次建立了数值不变测度的存在性理论。通过路径收敛技术证明了有限维截断系统的数值不变测度随步长Δ→0和维数N→∞时能逼近原系统的解析不变测度，为复杂随机系统的数值模拟提供了理论支撑。

　　

在复杂系统建模领域，随机格点动力系统(SLDS)因其在神经脉冲传播、电路模拟等跨学科应用中的重要性而备受关注。然而，这类系统往往涉及无限维空间和非线性噪声，其长期动力学行为的数值模拟面临两大挑战：一是如何保证离散化过程保持原系统的统计特性，二是如何通过有限维计算实现无限维系统的有效逼近。

针对这些核心问题，四川大学数学学院的研究团队在《Mathematics and Computers in Simulation》发表了创新性研究。他们聚焦于具有非线性噪声的随机反应-扩散格点系统，其控制方程包含离散拉普拉斯算子νA和双非线性项(f_i,σ_i)。通过构建向后欧拉-马拉尤姆(BEM)离散格式，首次证明了数值不变测度的存在性，并建立了从有限维截断系统到原无限维系统的收敛路径。该工作为复杂随机系统的数值模拟提供了严格的理论框架。

关键技术方法包括：1) 在l²空间构建BEM全离散格式；2) 采用(2N+1)维周期边界截断；3) 基于单调算子理论证明格式适定性；4) 通过鞅估计建立误差分析；5) 运用Prokhorov定理研究测度弱收敛。

【数值不变测度的存在性】
通过将BEM格式重写为形如u_m+1^Δ-F(u_m+1^Δ)Δ=G_m的隐式方程，利用算子F的强制性和单调性，结合Burkholder-Davis-Gundy不等式，证明了离散系统在l²空间生成Markov半群，从而保证不变测度的存在。

【有限维截断收敛】
设计(2N+1)维周期系统逼近原问题，其中截断算子A_N保持离散拉普拉斯结构。通过比较截断系统与完整BEM格式的解，证明当Δ→0且N→∞时，数值不变测度集{A^Δ,N}弱收敛于原系统不变测度集A⁰。

【路径收敛技术】
创新性地采用"连续→离散→截断"的双重逼近路径：先证明BEM格式不变测度收敛于连续系统，再验证有限维截断收敛于BEM格式。该技术克服了传统方法对唯一性的依赖，适用于多平衡态系统。

这项研究的意义在于：1) 首次建立SLDS数值不变测度的系统理论；2) 提出的路径收敛技术可推广至Navier-Stokes等更复杂系统；3) 为实际计算中维数N和步长Δ的选择提供理论指导。研究结果暗示，即使无法验证不变测度唯一性，仍可通过数值方法有效捕捉系统的统计特性，这对气候模拟等实际应用具有重要价值。