基于h自适应配点法的物理信息神经网络(PINNs)求解偏微分方程：一种融合有限元思想的随机采样策略

为解决物理信息神经网络(PINNs)在求解具有陡峭梯度或局部特征的偏微分方程(PDEs)时存在的收敛问题，研究人员提出了一种基于有限元h自适应网格细化思想的随机自适应采样方法。该研究通过动态调整配点分布，在残差较大的区域自动加密采样，显著提升了PINNs对边界层等复杂问题的求解效率。实验表明，该方法在1D和2D基准问题上相比非自适应策略平均减少28%训练时间，为解决PINNs的梯度消失问题提供了新思路。

　　

在科学计算领域，求解偏微分方程(PDEs)一直是极具挑战性的核心问题。传统数值方法如有限元法(FEM)虽然成熟可靠，但在处理复杂几何或多尺度问题时往往需要繁琐的网格划分。近年来兴起的物理信息神经网络(PINNs)通过将物理定律编码为损失函数，展现出无需网格生成的独特优势。然而在实践中，研究人员发现PINNs在求解具有陡峭梯度或边界层特性的问题时，常面临收敛困难甚至完全失效的窘境——就像试图用渔网捕捉溪流中的小鱼，网眼过大就会让关键特征"漏网而过"。

问题的根源在于传统PINNs通常采用均匀分布的配点(collocation points)，这就像在平静湖面和湍急漩涡处布置相同密度的监测点，难以准确捕捉流场中的关键特征。现有改进方法如残差自适应细化(RAR)需要先验知识，而基于概率密度函数(PDF)的方法则存在计算成本高的缺陷。这些局限促使研究人员思考：能否借鉴有限元法中成熟的h自适应网格细化技术，为PINNs设计更智能的配点策略？

研究人员创新性地提出了h自适应配点方法，其核心思想就像一位聪明的测绘师：先绘制区域草图，然后在误差大的地方自动增加测量点密度。该方法始于一个粗网格，通过监测残差大小动态细分网格单元，在保持随机采样优点的同时，确保配点集中在解变化剧烈的区域。这种"宏观引导+微观随机"的策略，既继承了有限元法的结构化优势，又保留了神经网络对高维问题的处理能力。

关键技术方法包括：(1)构建初始粗网格和嵌套细化策略；(2)基于残差的网格单元标记算法；(3)概率密度函数引导的配点采样；(4)混合L²范数误差评估体系。研究团队在1D和2D基准问题上进行了系统验证，对比分析了自适应与非自适应策略的性能差异。

在1D泊松方程基准测试中，自适应方法展现出显著优势。当求解具有0.7次幂奇异性的制造解时，训练所需epochs中位数从450,000降至318,500，降幅达29.2%。计算时间中位数也从921.20秒缩短至678.99秒。图3显示自适应方法将最大局部误差降低了一个数量级，特别是在边界附近区域，误差分布更加均匀。这种提升源于算法能自动识别x=1处的边界层，并在该区域密集布置配点。

针对更复杂的2D问题，研究团队测试了具有交叉奇异性的制造解。在40,000个配点规模下，自适应方法将收敛所需epochs中位数从289,000锐减至69,000，加速达4.2倍。图14的误差分布对比尤为明显：非自适应方法在角落区域出现明显误差集中，而自适应版本则实现了全域均匀的误差控制。这种优势在计算时间上体现为从1868.11秒降至476.32秒，为大规模应用奠定了基础。

特别值得关注的是对流-扩散问题的测试结果。当扩散系数ε=0.05时，自适应方法展现出惊人的适应性。如图11所示，传统PINN在x=1附近出现明显相位误差，而自适应版本准确捕捉到边界层特征。这归功于算法自动将60%以上的配点集中在最后10%的区域内，实现了"好钢用在刀刃上"的资源分配。

研究团队通过严格的统计验证揭示了方法的鲁棒性。200次重复实验中，自适应策略的成功率达100%，而非自适应方法有5%案例未能收敛。这种可靠性提升源于双保险机制：h自适应提供结构性保障，而随机采样避免陷入局部极小。正如论文所述："这种确定性h-FEM启发式算法与随机采样方法的结合，产生了意想不到的协同效应。"

在理论分析方面，研究建立了四个基本假设：(1)PDE问题适定性；(2)神经网络空间G?C^m(Ω)；(3)参数映射θ?g_θ的连续性；(4)参数空间Θ的紧性。这些假设覆盖了大多数实际应用场景，为方法奠定了严谨的数学基础。作者特别指出，激活函数的选择至关重要——tanh等光滑函数能满足假设2，而ReLU等非光滑函数可能导致理论缺口。

这项研究的科学价值体现在三个方面：方法论上，首次将h自适应思想引入PINNs训练，开辟了物理信息机器学习的新方向；算法上，提出的混合策略实现了确定性方法与随机采样的优势互补；应用上，为解决工程中的边界层问题提供了可靠工具。正如讨论部分强调的："我们的方法像一座桥梁，连接了有限元社区数十年的网格优化经验与深度学习的最新进展。"

未来研究方向包括：扩展到三维问题，开发时空自适应的瞬态问题解法，以及与变分PINNs(VPINNs)框架的融合。特别是在处理冲击波传播等前沿问题时，这种自适应策略有望突破现有方法的局限。这项成果发表在《Journal of Computational Science》，为科学计算与人工智能的交叉融合树立了新的里程碑。