基于对称星形函数Hankel不等式估计的图像增强算法研究及其在医学影像处理中的应用

本研究针对传统图像增强技术在保留结构完整性和减少失真方面的不足，创新性地将几何函数理论中的Hankel不等式估计应用于图像处理领域。巴基斯坦Fatima Jinnah女子大学和沙特Princess Nourah大学的研究团队通过建立对称星形函数类SS*的2阶和3阶Hankel行列式精确边界，开发出基于3×3卷积窗口的新型图像增强算法。实验结果表明，该算法在PSNR、SSIM等关键指标上显著优于传统方法，特别是在医学影像增强方面展现出优异性能，为图像处理提供了新的数学工具。

　　

在数字图像处理领域，如何有效提升图像质量同时保持结构完整性一直是亟待解决的关键问题。传统方法如直方图均衡化虽然计算高效，但容易产生不自然的对比度，特别是在医学影像等专业领域，细节保留与噪声抑制往往难以兼顾。这一技术瓶颈促使研究人员将目光投向数学理论的新应用。

巴基斯坦拉瓦尔品第Fatima Jinnah女子大学数学科学系和沙特阿拉伯Princess Nourah bint Abdulrahman大学计算机科学学院的研究团队独辟蹊径，从几何函数理论中寻找突破口。他们聚焦于对称星形函数类SS*（Symmetric Starlike Functions）的Hankel行列式估计问题，这项发表在《Scientific Reports》上的研究不仅推进了复变函数理论的边界，更开创性地将其应用于图像增强领域，为解决这一工程难题提供了新的数学工具。

研究人员采用的主要技术方法包括：1）建立对称星形函数类SS*的系数不等式；2）推导2阶和3阶Hankel行列式（H_2,1、H_2,2和H_3,1）的精确上界；3）基于行列式值设计多方向卷积核；4）使用MESSIDOR视网膜图像数据集等不同类型图像验证算法性能；5）采用PSNR、SSIM等6项指标进行量化评估。

【Main results】
研究首先建立了对称星形函数类SS*的精确系数边界，证明|t₂|≤1/2、|t₃|≤1/2等不等式均可达。特别重要的是，获得的Hankel行列式边界全部为尖锐估计，其中2阶行列式|H_2,1|≤1/2，3阶行列式|H_3,1|≤5/16，这些结果为后续算法设计奠定了严格数学基础。

【Application of Hankel determinant in image enhancement】
创新性地将Hankel行列式值h₁、h₂、h₃作为卷积核元素，构建了0°、45°、90°和135°四个方向的3×3掩模窗口。通过卷积运算实现图像增强，其核心公式为H_E(m,n)=M*H_O(m,n)，其中M为包含Hankel行列式值的对角矩阵。

【Comparative analysis】
在MESSIDOR视网膜图像数据集上的测试显示，该算法的平均PSNR达到34.75，SSIM为0.974，显著优于文献报道的现有方法。如图8-14的网格表征分析所示，增强后的图像在血管边缘等细节处呈现更清晰的峰谷结构，验证了算法在保留解剖结构方面的优势。

这项研究的意义在于：理论层面，完善了对称星形函数类SS*的Hankel行列式理论，所有结果均为尖锐估计；应用层面，开创了将几何函数理论应用于图像处理的新范式，特别是在医学影像增强方面展现出独特价值。研究提出的基于数学理论的算法框架，为突破传统图像处理技术的瓶颈提供了新思路，未来可进一步拓展至卫星图像增强、低照度监控等更多应用场景。