广义柔性Lomax模型的多样化风险率模式及其在工程与辐射数据中的应用研究

为解决传统Lomax模型在刻画复杂风险率模式（如浴盆型、倒浴盆型等）时的局限性，研究人员通过Marshall-Olkin扩展方法构建了广义柔性Lomax模型（MOFL）。该研究推导了MOFL的矩生成函数、熵度量等关键数学性质，并通过三组实际数据验证其优越拟合性能。结果表明，MOFL在AIC、BIC等模型选择准则下显著优于FL、GG等7种对比模型，为可靠性分析和生存研究提供了更灵活的工具。

　　

在可靠性工程和生存分析领域，准确刻画系统失效模式是核心挑战。传统Lomax模型虽能描述重尾数据，但其固定单调的风险率（HR）函数难以捕捉现实世界中常见的浴盆型、倒浴盆型等复杂失效模式。这一局限性在碳纤维材料强度评估、极端降雨预测和癌症患者生存分析等场景中尤为突出——当系统同时存在早期失效、随机失效和磨损失效阶段时，传统模型往往力不从心。

为突破这一瓶颈，巴基斯坦科哈特科学技术大学数值科学研究所的Abdus Saboor团队创新性地将Marshall-Olkin（MO）变换引入柔性Lomax（FL）模型框架，构建了广义柔性Lomax模型（MOFL）。通过引入新的形状参数α，MOFL能同时生成递减、递增、浴盆型和恒定四种HR曲线，其概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）均具有解析表达式。研究人员采用最大似然估计（MLE）和矩估计（MM）两种方法进行参数估计，通过蒙特卡洛模拟验证了MLE在偏差和均方误差（MSE）上的优越性。

关键技术方法包括：1）基于逆变换法的随机数生成；2）Meijer G函数实现矩生成函数的闭式表达；3）采用BFGS和L-BFGS-B算法进行MLE优化；4）使用碳纤维断裂应力（n=66）、首尔42年日最大降雨量（n=42）和膀胱癌患者生存时间（n=128）三组实际数据进行模型验证。

数学性质推导

通过变量替换z=1+(x/β)^η，团队推导出MOFL的r阶矩表达式（式12），其中涉及伽马函数Γ(·)和正弦函数的精密组合。特别地，当r=1,2时，一阶矩（式17）和二阶矩（式18）呈现参数ξ,α,η的显式关系，为实际应用提供计算便利。

熵度量分析

研究首次给出MOFL的香农熵（式26）、Rényi熵（式31）和Tsallis熵（式37）的解析解。其中Rényi熵表达式中出现的β(q,q)函数（二阶贝塔函数）揭示了模型信息量与参数q的非线性关系，这一发现为信息论应用奠定理论基础。

实证研究结果

在碳纤维数据拟合中，MOFL的K-S检验p值达0.863，显著优于FL（0.796）和GG（<0.001）。对于降雨数据，MOFL的AIC（1160.28）比次优模型WTX-PL低5.54，其Q-Q图显示理论分位数与经验分位数几乎完全重合。在癌症生存数据分析中，MOFL的LOO对数似然值（-266.10）和MAE（2.95）均为所有模型最优，证实其在右偏数据中的独特优势。

讨论与意义

该研究通过严格的数学推导和实证验证，建立了MOFL模型的理论体系。其核心价值在于：1）通过α参数实现HR曲线的灵活调控，解决了工程中混合失效模式的建模难题；2）闭式的矩生成函数（式20）为可靠性指标的快速计算提供可能；3）在极端降雨预测中的成功应用，为气候变化研究提供了新工具。值得注意的是，当η>1且α>1时，MOFL能保持有限均值，这一性质使其在保险精算和金融风险管理中具有潜在应用前景。未来研究可探索MOFL在多元失效数据和竞争风险模型中的扩展应用。