双曲晶格中的异常拓扑泵浦现象

《Science in One Health》：Anomalous topological pumping in hyperbolic lattices

双曲晶格拓扑泵送揭示高维量子霍尔效应及周期边界条件诱导的拓扑振荡，实验通过时变超曲电路验证。

　　

郝元|张伟轩|孙娜|狄凤晓|曹文辉|张向东

教育部先进光电量子结构与测量重点实验室，北京工业大学，北京100081，中国

摘要

双曲晶格——具有恒定负曲率的非欧几里得规则铺砌——为探索在平坦几何学中无法实现的曲率驱动的拓扑现象提供了一个独特的框架。尽管最近的进展主要集中在静态双曲系统上，但弯曲空间与时调制拓扑之间的动态相互作用仍然尚未被探索。在这里，我们研究了双曲晶格中的拓扑泵浦现象，发现了一些在欧几里得系统中没有对应现象的异常行为。值得注意的是，二维双曲泵浦现象模拟了八维量子霍尔物理，超越了传统的维度限制。我们进一步证明，泵浦轨迹受到切尔数（第一到第四个）和周期性边界条件（PBC）配置的共同作用。特别地，特定的PBC会触发周期性拓扑振荡，其中量子化传输会陷入时间循环。实验上，时调制的双曲电路验证了高维量子霍尔特征和依赖于PBC的拓扑动力学。我们的工作开创了双曲晶格中拓扑泵浦现象的研究，展示了非欧几里得几何对拓扑现象的变革性影响。

引言

拓扑泵浦是通过绝热参数调制实现量子化波包传输的过程[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]，它是拓扑物理学中的基石。这一概念源于Thouless的开创性工作[[7]]，并激发了大量研究，包括与四维量子霍尔效应相关的二维拓扑泵浦[[2], [3]]、孤子的非线性拓扑泵浦[[8], [9], [10], [11]]、非阿贝尔拓扑泵浦[[12], [13], [14]]以及其他变体[[15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27]]。尽管取得了这些进展，大多数研究仍然局限于欧几里得空间，而对非欧几里得系统中拓扑泵浦的探索较少。

非欧几里得几何对物理学多个领域产生了深远影响，其中双曲晶格——在负曲率空间中的规则铺砌——揭示了奇异的物理现象。最近人工双曲晶格的实现推动了双曲物质研究的重大进展[[28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52]]。其中一个突破是将布洛赫定理扩展到双曲晶格[[30], [31], [32]]，揭示了支持阿贝尔和非阿贝尔布洛赫态的高维动量空间。这一独特性质结合了边界主导的实空间结构，为探索双曲拓扑相提供了新的机会[[33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45]]。值得注意的是，最近的一项理论研究通过引入四个内部双曲方向来研究双曲晶格中的量子霍尔效应，其中量子化的霍尔电导率由二维k空间中定义的第一个切尔数控制，该切尔数可以从阿贝尔布洛赫态计算得出[[44]]。然而，由于以下关键差异，预计对双曲晶格中拓扑泵浦的研究将开辟新的途径：首先，二维双曲晶格具有更高维的动量空间，从而可以探索高维量子霍尔物理；其次，拓扑泵浦本质上将动量空间的拓扑与实空间中的波包演化联系起来。双曲动量空间与实空间之间的维度差异预计会产生异常的拓扑泵浦现象。因此，双曲晶格还能表现出哪些新的拓扑泵浦现象，以及如何实验观察到这种双曲拓扑泵浦，仍然是未解之谜。

在这项工作中，我们研究了双曲晶格中的拓扑泵浦现象，发现了一些在欧几里得系统中没有对应现象的异常行为。利用U(1)双曲能带理论，我们将一个四维拓扑泵浦模型嵌入到{8,8}双曲晶格中。我们发现双曲拓扑泵浦可以表现出八维量子霍尔效应的特征。此外，双曲晶格可以适应多种周期性边界条件（PBC）模式。通过在有限双曲晶格中设计PBC，双曲拓扑泵浦可以表现出多种轨迹。其中，拓扑振荡——波包围绕初始位置的周期性振荡——是一种在传统欧几里得泵浦中无法实现的独特效应。为了验证我们的预测，我们设计并制造了时变双曲电路，从而实现了双曲拓扑泵浦的实验观察。

材料与方法

详细的材料和方法可以在附注S1（在线）中找到，包括样品制备、印刷电路板的功能分析以及电路测量的实验细节。

双曲拓扑泵浦的理论模型

我们首先介绍双曲晶格中拓扑泵浦的理论模型。图1a展示了{8, 8}双曲晶格的庞加莱圆盘表示，该晶格由规则八边形构成，每个顶点连接到八个相邻的点。{8, 8}双曲晶格满足Fuchsian平移群[[30], [31], [32]]，其定义为${\Gamma }_{8,8}=〈{\gamma }_x,{\gamma }_y,{\gamma }_z,{\gamma }_s|\gamma <mi>x</mi><msub><mi>\gamma </mi><mi>y</mi></msub>$^?1 ${\gamma }_z{\gamma }_s$^?1 ${\gamma }_x$^?1 ${\gamma }_y{\gamma }_z$^?1 ${\gamma }_s=I〉$，其中${\gamma }_i$和${\gamma }_i$^-1，且$i\in [x,y,z,s]$代表群

讨论与展望

在这封信中，我们提出了对HACs中拓扑泵浦的理论和实验探索，揭示了与欧几里得系统中根本不同的拓扑现象。利用U(1)双曲能带理论，我们将一个四维拓扑泵浦模型嵌入到{8,8} HACs中。这种嵌入表明，二维双曲晶格可以表现出类似于八维量子霍尔效应的特征，扩展了拓扑物理的维度和范围。虽然我们的研究主要集中在{8,8}双曲晶格上

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

本工作得到了中国国家重点研发计划（2022YFA1404900）、国家自然科学基金（12422411）、中国科学技术协会青年精英科学家资助计划（2023QNRC001）以及中国科学技术协会青年精英科学家资助计划与北京自然科学基金联合支持的博士生项目的支持。

作者贡献

郝元和张伟轩完成了理论框架的构建