利用高斯过程回归进行主动学习，以求解非线性时变偏微分方程

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Active learning with Gaussian Process Regression for solving non-linear time-dependent partial differential equations

基于高斯过程回归的主动学习PDE求解方法研究，提出结合GPR与主动学习的新算法，通过不确定性量化与数据高效选择降低计算成本，在Burgers方程、Allen-Cahn方程等四类非线性时间依赖PDEs中验证其精度与效率优势。

　　在科学研究和工程应用中，非线性时间依赖偏微分方程（PDEs）的高效求解一直是一个重要的挑战。这类方程广泛用于描述流体动力学、热传导、量子力学以及电磁场等复杂物理现象。然而，非线性PDEs的求解过程往往伴随着计算上的困难，这主要体现在两个方面：一是方程本身的非线性特性使得数值求解更加复杂；二是为了达到较高的预测精度，通常需要大量的未知数（自由度），从而增加了计算成本。面对这些挑战，传统数值方法如有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和深度学习模型如物理信息神经网络（PINN）、深度算子网络（DeepONet）以及傅里叶神经算子（FNO）等，虽然在一定程度上提高了求解效率，但仍存在局限性。

为了应对这些挑战，本文提出了一种基于主动学习与高斯过程回归（GPR）的新方法。这种方法不仅能够高效地求解非线性时间依赖PDEs，还能够在预测过程中提供不确定性估计，从而增强模型的可靠性。GPR是一种非参数化的贝叶斯方法，其核心思想是将函数视为函数空间上的分布，并通过概率推理来估计预测的不确定性。相比传统方法，GPR在低数据量情况下表现出更高的计算效率，同时具备处理不规则域和复杂边界条件的能力。此外，GPR能够提供置信区间，使得预测结果更加稳健，适用于需要考虑不确定性的真实世界应用。

主动学习的核心理念是通过迭代选择最有信息量的数据点，从而优化模型的训练过程。这种方法不同于传统的监督学习，后者依赖于固定的训练数据集，而主动学习则通过查询用户或专家来获取最有价值的数据。通过这种方式，可以有效减少数据标注的成本和计算需求，特别是在获取标注数据成本高昂或耗时较长的情况下，主动学习展现出独特的优势。在本文中，我们利用GPR的不确定性估计能力，结合主动学习策略，逐步选择和标注高不确定性区域的数据点，从而优化模型的预测精度。

具体而言，我们首先在初始时间步上选取一小部分训练点，这些点代表已知的解值。然后，通过GPR模型对这些训练数据进行拟合，从而预测整个解空间。接下来，我们识别预测结果中不确定性最高的区域，并通过数值求解PDEs来获取这些点的实际值。这一过程在预设的迭代次数内不断重复，每次迭代都会进一步优化GPR模型，降低预测的不确定性，从而提升模型的准确性。这种方法在处理非线性PDEs时，特别适用于需要高精度预测的场景，同时能够显著减少计算成本。

在本研究中，我们选择了四种典型的非线性时间依赖PDEs进行测试和验证，包括Burger’s方程、Allen–Cahn方程、抛物型界面PDE（Stefan方程）以及Korteweg–de Vries（KdV）方程。这些方程在不同的物理背景中具有重要的应用价值，例如Burger’s方程常用于描述流体的粘性行为，而KdV方程则用于模拟水波的传播过程。通过将主动学习与GPR相结合，我们不仅能够高效地求解这些方程，还能够提供可靠的不确定性估计，从而增强预测结果的可信度。

为了提高求解效率，我们采用了多种数值方法进行PDEs的离散化，包括有限差分法、分步方法以及Zabusky–Kruskal方案。这些方法在离散化过程中可能会引入误差，特别是当初始条件和边界条件不够精确时。因此，我们通过主动学习与GPR的结合，对这些误差进行修正，同时提高模型的预测精度。在主动学习的迭代过程中，我们重点关注高不确定性区域的数据点，通过不断补充这些数据，使GPR模型能够更准确地反映真实解的特性。

在方法实现过程中，我们还引入了数据增强策略，以提高模型在不同区域的泛化能力。数据增强的核心思想是根据当前模型的预测结果，选择最有价值的数据点进行补充，从而优化模型的训练过程。这种方法不仅能够提高模型的准确性，还能够减少计算资源的消耗，使求解过程更加高效。此外，我们还对模型的预测结果进行了系统评估，与传统数值方法的求解结果进行了对比，验证了该方法的有效性。

本研究的创新点在于将主动学习与GPR相结合，以解决非线性时间依赖PDEs的求解难题。这种方法不仅能够提供精确的预测结果，还能够有效估计预测的不确定性，从而增强模型的可靠性。相比传统方法，该方法在计算效率和预测精度方面表现出显著优势，特别是在处理高维和复杂边界条件的PDEs时。此外，GPR的非参数化特性使得模型能够灵活适应不同的PDEs结构，而主动学习的策略则进一步优化了数据选择过程，使模型能够高效地进行训练和预测。

在实际应用中，我们发现这种方法在多个方面具有显著优势。首先，GPR能够有效处理低数据量情况下的PDEs求解问题，避免了传统方法需要大量网格点所带来的计算负担。其次，GPR在处理不规则域和复杂边界条件时，表现出更高的灵活性和适应性。此外，GPR提供的置信区间使得预测结果更加稳健，适用于需要考虑不确定性的工程应用。通过主动学习的策略，我们能够在预测过程中逐步优化模型，减少计算资源的消耗，提高预测精度。

在本研究中，我们对四种PDEs进行了数值求解和模型预测的对比分析。通过这种方法，我们不仅验证了GPR在求解非线性时间依赖PDEs方面的有效性，还展示了主动学习在优化模型训练过程中的重要作用。结果表明，主动学习与GPR的结合能够显著减少所需的数据点数量，同时保持较高的预测精度。这使得该方法在处理高维和复杂PDEs时具有更高的应用价值。

此外，我们还对模型的可扩展性进行了研究。尽管GPR在构建概率代理模型方面表现出强大的能力，但在数据点数量增加时，其计算可扩展性可能会受到限制。为了解决这一问题，我们采用了一系列优化技术，以提高模型在大规模数据集下的计算效率。这些优化技术主要集中在减少对数据点数量的依赖，从而提升模型的实用性。通过这种方式，我们确保了模型能够在实际应用中高效运行，而不会因数据量过大而导致计算负担过重。

综上所述，本文提出了一种基于主动学习与GPR的新型方法，用于求解非线性时间依赖PDEs。这种方法不仅能够提高求解效率，还能够提供可靠的不确定性估计，从而增强预测结果的可信度。通过将主动学习与GPR相结合，我们能够在预测过程中优化数据选择，减少计算资源的消耗，同时保持较高的预测精度。这种方法在处理高维和复杂边界条件的PDEs时展现出独特的优势，为科学计算和工程应用提供了新的思路和工具。