用于稀疏非线性建模与控制的机器学习

《Annual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems》：Machine Learning for Sparse Nonlinear Modeling and Control

本文探讨稀疏非线性建模在控制理论中的应用，提出通过稀疏优化实现高效、可解释的模型，适用于模型预测控制（MPC）和强化学习（RL），解决高维、非线性、部分可观测等挑战，同时讨论了与物理约束结合的方法及未来方向。

　　近年来，机器学习技术在科学和工程领域取得了飞速发展，其中控制理论也不例外。它在处理现代动态系统和控制中的诸多挑战方面展现出巨大的潜力，包括系统的复杂性、未建模的动力学、强非线性以及隐藏变量等问题。然而，传统的机器学习模型在训练和部署成本上较高，缺乏可解释性、泛化能力不足，并且难以提供可靠的保障，这些限制使得它们在现实世界和对安全性要求较高的控制应用中难以广泛采用。因此，研究者们开始关注一种更为高效、经济且可解释的机器学习方法——稀疏非线性建模与控制技术。这类技术通过稀疏优化，能够构建简洁且具备解释性的模型，从而在控制算法中实现快速预测和低延迟决策。

### 稀疏建模技术的背景

稀疏非线性建模技术的核心思想是通过优化过程，选择尽可能少的变量或项来描述系统的动态行为。这种方法的优势在于，它能够以较少的数据进行训练，同时保持模型的可解释性和泛化能力。与传统的深度学习（DL）相比，稀疏模型通常具有更少的自由参数，从而降低了过拟合的风险，并提高了计算效率。例如，稀疏识别非线性动力学（SINDy）算法，它基于稀疏回归和符号回归（SR）技术，能够识别出描述系统动态的最简微分方程模型。SINDy通过构造一个包含候选函数的库，并利用稀疏优化来筛选出最相关的项，从而实现对复杂系统的建模。

稀疏建模在多个领域都得到了应用，特别是在那些需要处理高维、非线性和多尺度动力学的系统中。例如，在湍流控制和神经科学中，SINDy被证明能够准确捕捉系统的行为，同时保持模型的简洁性。在这些应用中，系统的动态特性往往难以用传统方法建模，而SINDy则能够通过识别关键的非线性项，提供一个既能描述系统行为又便于理解和分析的模型。

### SINDy与其他方法的比较

在稀疏建模方法中，SINDy与动态模式分解（DMD）和符号回归（SR）有着密切的联系。DMD是一种用于线性系统建模的技术，它通过提取系统的主成分和动态模式，能够有效降低系统的维度并描述其行为。SR则是一种更通用的方法，通过函数组合来寻找描述系统动态的最简表达式，但其计算复杂度通常高于SINDy。相比之下，SINDy能够在不牺牲模型精度的前提下，以更少的数据和更少的计算资源进行建模，从而更适用于资源受限的环境。

此外，高斯过程（GPs）作为一种概率模型，在建模和控制方面也具有优势。GPs能够提供关于模型不确定性的估计，这在某些动态系统中尤为重要。然而，GPs通常需要更多的数据进行训练，且在处理复杂非线性系统时可能不如SINDy有效。深度学习虽然在建模复杂系统方面表现出色，但其模型通常缺乏可解释性，难以在安全关键的应用中使用。

在实际应用中，SINDy与DMD的结合展现出了特别的优势。通过使用DMD方法进行状态空间的降维，再结合SINDy进行非线性建模，可以在不牺牲模型性能的前提下，显著减少数据需求和计算成本。这种方法尤其适用于那些需要快速响应和低延迟控制的系统，如流体动力学控制和机器人控制。

### 稀疏建模在控制理论中的应用

稀疏建模技术不仅适用于数据驱动的系统建模，还被广泛应用于控制算法中，特别是在模型预测控制（MPC）和强化学习（RL）领域。MPC是一种强大的控制方法，它通过在线优化，基于预测模型来生成最优控制策略。然而，传统的MPC依赖于精确的模型，这在许多复杂系统中可能难以实现。因此，利用稀疏建模技术，如SINDy，可以为MPC提供一个简洁且可解释的模型，从而在保证控制性能的同时，降低计算负担。

在强化学习中，稀疏建模同样发挥着重要作用。传统的强化学习方法，如深度强化学习（DRL），通常需要大量的环境交互数据进行训练，这在某些实际应用中可能不可行。而SINDy能够通过稀疏优化，快速识别出系统的动态模型，从而减少对环境的依赖。此外，SINDy还可以用于建模奖励函数，进一步提高强化学习的效率。通过同时学习动态模型和奖励模型，SINDy能够提供一个更加全面的系统描述，使得强化学习算法能够在更少的样本下达到更好的性能。

### 未来的发展方向

尽管稀疏建模技术已经取得了显著进展，但仍然存在一些挑战和未来研究方向。首先，如何选择合适的候选函数库是稀疏建模的关键问题之一。虽然多项式库在许多物理系统中表现良好，但在高维或非线性更强的系统中，可能需要更复杂的候选函数。因此，未来的研究可以探索更高效的库构造方法，以适应不同类型的系统。

其次，如何处理噪声数据和有限数据也是稀疏建模的一个重要课题。传统的稀疏建模方法在噪声较大的情况下可能难以准确识别模型，而通过引入集成方法（如E-SINDy），可以显著提高模型的鲁棒性。此外，如何将物理约束和对称性融入稀疏建模过程中，也是一个值得研究的方向。例如，在SINDy框架中，可以加入物理约束，以确保模型的稳定性，并减少对大量数据的依赖。

最后，稀疏建模技术在控制理论中的应用仍然处于早期阶段，许多方法尚未被广泛验证。因此，未来的研究需要更多实际案例的验证，以评估这些方法在不同应用场景中的表现。同时，探索稀疏建模与经典控制方法的结合，如动态模式分解（DMD）和Koopman算子理论，也有助于进一步提升控制系统的性能和可靠性。

### 结论

综上所述，稀疏非线性建模和控制技术为现代控制理论提供了一种新的解决方案。它们不仅能够有效应对复杂系统的建模难题，还能在资源受限的环境中提供高效的控制策略。通过结合稀疏优化、符号回归和动态模式分解等方法，稀疏建模技术在提升模型的可解释性、泛化能力和计算效率方面展现出巨大的潜力。未来的研究将继续探索这些技术在更多领域的应用，并进一步优化其在不同控制场景中的表现。