舞台运动控制：重新审视非线性积分器

《Annual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems》：Stage Motion Control: Nonlinear Integrators Revisited

非线性积分器通过描述函数分析实现相位优势，补偿线性积分器的相位滞后，提升低频扰动抑制能力。本文系统比较了Clegg、CgLp、HIGS、变量增益和分路五种非线性积分器在半导体制造设备中的性能：HIGS overshoot降低52%，Clegg相位滞后38.1°，变量增益相位滞后57.5°。通过Lyapunov方法、LMI条件和频率域分析验证了非线性积分器的稳定性，实验表明其带宽提升45%，扰动抑制因子达1.7-4.1。最后提出频率域鲁棒设计等未来研究方向。

　　在现代控制系统中，积分器是实现精确控制的重要组成部分。它们在处理静态力和提高低频扰动抑制能力方面表现优异，但同时也引入了相位滞后，这种滞后是频率依赖的时移或延迟。相位滞后会降低系统的响应速度，甚至影响其稳定性。为了克服这一局限，非线性积分器应运而生，它们在描述函数的视角下，能够提供优于线性积分器的相位优势，从而在不牺牲稳定性的前提下，提高控制系统的带宽和响应性能。本文旨在为控制工程师提供关于五种非线性积分器的概述，探讨它们的特性，并分析在哪些场景下适合使用。

在半导体工业中，舞台系统承担着高精度定位的任务，特别是在高要求的运动跟踪控制中。为了满足日益严格的控制规范，这些系统通常结合前馈和反馈控制。然而，线性反馈控制由于其固有的设计限制，无法在所有频率下有效抑制扰动。相位滞后是线性控制设计中的一个关键问题，它限制了系统的带宽和响应速度。而非线性反馈控制提供了一种突破这一限制的可能，使得系统能够超越传统线性设计的性能边界。

从早期的Clegg积分器开始，非线性积分器在控制领域引起了广泛关注。Clegg积分器通过在输入零交叉时重置积分器状态，保证了输入和输出的符号一致性。这种特性使得其描述函数具有与线性积分器相同的幅值特性，但相位滞后减少了38.1°，从而在某些频率下表现出更优的性能。随后，Foster等人在1966年引入了分路滤波器，Bailey则在同年提出了驱动限制器，这些设计进一步拓展了非线性积分器的性能优势。1975年，Horowitz和Rosenbaum提出了第一阶重置元素（FORE），这一设计将重置积分器转变为了弱积分器。Karybakas在1977年引入了分路积分器，它通过在分路滤波器之后接入线性积分器，使得积分器的描述函数具有零相位滞后。现代非线性积分器的设计与这些早期发展密切相关，它们在不同频率范围内表现出不同的相位和增益特性。

非线性积分器在控制设计中具备几个显著的优势。首先，它们的输入-输出关系通常具有符号一致性，这意味着在频率域分析中，它们能够提供相位优势，从而在不牺牲稳定性的前提下，提高控制系统的带宽和低频扰动抑制能力。其次，非线性积分器可以自然地超越线性积分器的性能，例如在某些情况下，它们可以避免阶跃响应中的超调现象，这是线性控制设计中难以避免的固有缺陷。此外，所有考虑的非线性积分器都具有齐次性，即它们在比例缩放下保持不变，这一特性为控制系统的设计提供了更多的灵活性，有助于实现更精确的闭环控制。

然而，非线性积分器也存在一些挑战。例如，它们的切换行为可能导致系统在某些频率下出现不稳定性，这需要结合特定的稳定性工具进行分析。在频率域分析中，通常使用描述函数来近似非线性系统的频率响应特性，但这种方法可能带来一定的保守性。因此，研究者们提出了多种稳定性分析工具，包括基于线性矩阵不等式（LMIs）的时域测试和基于频率响应数据的图形测试。这些工具可以帮助工程师更准确地评估非线性积分器的稳定性，同时减少设计的保守性。

本文评估了五种非线性积分器：Clegg积分器、常增益-前导相位（CgLp）元素、混合积分器-增益系统（HIGS）、可变增益积分器和分路积分器。通过与线性积分器的比较，可以发现这些非线性积分器在某些方面提供了显著的性能提升。例如，HIGS积分器通过切换静态和动态模式，有效减少了相位滞后，从而提高了系统的响应速度和稳定性。而分路积分器则通过引入分路滤波器和积分器的组合，实现了对系统动态特性的更精确控制。

为了验证这些非线性积分器的实际性能，本文还提出了两个基准测试：一个是基于阶跃响应的测试，另一个是基于扰动抑制的测试。这些测试基于一个原型晶圆舞台系统，能够直观地展示非线性积分器在实际应用中的优势。例如，在阶跃响应测试中，非线性积分器的超调量显著低于线性设计，特别是在HIGS积分器的设计中，超调量减少了52%。而在扰动抑制测试中，所有非线性积分器的低频增益都优于线性设计，其中Clegg积分器的设计在带宽方面表现尤为突出。

尽管非线性积分器在性能上有明显优势，但它们的设计和实现也面临一些挑战。例如，非线性积分器的切换行为可能导致系统在某些频率下出现不稳定性，需要结合特定的稳定性工具进行分析。此外，非线性积分器的非线性特性使得传统的线性控制理论无法直接应用于它们的分析，因此需要开发新的分析方法。例如，使用描述函数进行频率域分析时，需要考虑其对系统动态特性的近似性，以及如何通过滤波或其他方法减少这种近似带来的保守性。

总的来说，非线性积分器为现代控制系统提供了新的设计思路和性能提升的可能。它们在高精度和高速运动控制中具有显著的优势，特别是在减少超调和提高带宽方面。然而，由于其非线性特性，它们的设计和分析需要更加复杂的工具和方法。未来的研究可以进一步探索非线性积分器的鲁棒性设计，特别是在频率域中结合不确定性模型，以提高其在实际应用中的可靠性。此外，开发更高效的非线性积分器，以及优化其在不同频率范围内的性能，也是未来研究的重要方向。