矩形介质波导阵列中导模的近似解析解及其在集成光子学中的应用

本研究针对一维矩形介质波导阵列中导模缺乏解析解的问题，提出了一种结合分离变量法与多层平面波导解析解的新方法，可精确计算阵列模式（超模）的电磁场分布和传播常数σ。该方案适用于阶跃折射率和渐变折射率波导，计算效率较有限差分法提升6倍，与耦合模理论(CMT)相比误差<0.015%，为集成光子器件设计提供了高效分析工具。

　　

在光子集成电路设计领域，如何高效分析多波导耦合系统始终是困扰研究人员的难题。传统数值方法如有限差分时域(FDTD)计算量巨大，而现有解析解仅适用于单根阶跃折射率波导。这种技术瓶颈严重制约了光子晶体、激光阵列等器件的优化设计效率。

以色列布劳德工程学院(Braude College of Engineering)的Inon Sarusi和Vladislav Shteeman团队在《Heliyon》发表的研究，创新性地将单波导分离变量法与多层波导解析解相结合。通过建立x/y方向等效折射率函数n_x(x)和n_y(y)，将二维Helmholtz方程分解为两个一维问题求解，最终获得阵列模式的场分布E^x_t(x,y)和传播常数σ解析表达式。

关键技术包括：1）通过中心截面法构建等效折射率分布（式4-5）；2）采用递归算法求解多层波导TE/TM模式；3）引入场阴影区修正项Δσ（式8）提高精度。研究选取10个渐变折射率方形波导组成的阵列作为验证模型，其核心折射率分布符合1/cosh²函数（式12）。

研究结果显示：

1. 导模特性分析

   对比有限差分法和CMT，新方法对基模的计算误差<0.005%，高阶模误差<0.015%。图9显示三组阵列模式（对应单波导前三阶模）的有效折射率n_eff=σ/(2π/λ₀)高度吻合。

2. 场分布验证

   图11展示基模场分布E^x_t(x,y)=X^TE(x)·Y^TM(y)的三维对比，解析解与数值解在波导耦合区呈现一致的能量局域特性。

3. 计算效率

   该解析方案仅需1278个未知量（有限差分法需295750个），计算时间从10分钟缩短至1.5分钟，且不受波导数量限制。

这项研究突破了传统解析方法仅适用于单波导的限制，首次实现了对任意数量矩形波导阵列的完整解析描述。其创新点在于：1）通过场分离假设将维度降阶；2）引入一阶修正补偿阴影区误差；3）支持渐变折射率结构分析。该成果为光子晶体带隙设计、激光阵列耦合优化等应用提供了新的理论工具，特别适合需要快速迭代的集成光学器件设计场景。未来可通过引入矢量模式耦合理论，进一步拓展至非矩形波导阵列的分析。