基于随机线性SEIR模型的传染病流行率与日新增病例分布研究及其在参数估计中的应用

本研究针对传染病动力学参数估计中的关键问题，通过建立随机线性SEIR模型，创新性地推导出传染病人数I(t)和日新增病例的近似概率分布。研究发现传染病人数可近似为负二项分布或二项分布，日新增病例分布则取决于传染病人数的分布类型。该研究为传染病参数估计和疫情预测提供了重要的理论依据，对完善流行病学统计模型具有重要价值。

　　

传染病暴发对公共卫生和社会产生深远影响，准确预测疾病传播动态对于制定有效防控措施至关重要。然而，当前传染病模型参数估计面临重大挑战：传统确定性模型无法捕捉流行病学数据中的随机波动，而现有随机模型对潜伏期等重要因素的考虑不足。更关键的是，用于参数估计的似然函数缺乏坚实的理论基础，特别是当日新增病例数据存在过度离散现象时，常用的泊松分布假设会导致不可靠的参数区间估计。这些问题的存在严重影响了传染病预测的准确性和防控决策的科学性。

维多利亚大学数学与统计系的研究人员针对这些问题开展了创新性研究。他们建立了一个随机线性SEIR（易感-潜伏-感染-移除）模型，通过理论推导和数值模拟相结合的方法，深入研究了传染病指数增长阶段新病例的分布规律。这项重要研究成果发表在《Mathematics and Computers in Simulation》期刊上，为传染病参数估计提供了新的理论框架。

研究采用了多项关键技术方法：首先建立了随机线性SEIR模型的微分方程；其次运用特征线法求解概率生成函数（PGF）；然后通过不稳定流形近似方法获得解析解；最后采用Gillespie算法生成80，000条样本路径进行验证。研究参数基于COVID-19早期估计值设置：传播率β=0.4，诊断率γ=0.2，潜伏期倒数σ=0.2（对应5天潜伏期）。

在"随机线性SEIR模型"部分，研究人员将人群划分为四个仓室（S、E、I、R），建立了考虑潜伏期的传染病传播模型。通过线性化假设简化了非线性感染项，推导出联合过程（E(t)，I(t)）的主方程和概率生成函数的偏微分方程。研究证明在疫情早期阶段，当感染人口比例较小时，这种线性近似能有效捕捉关键动态特征。

在"传染病人数I(t)的概率分布近似"部分，研究取得了重要突破。通过将平衡点（1，1）移至原点并进行变量替换，研究人员成功将系统沿其特征向量分解。研究发现I(t)的分布可以近似为两个负二项分布和两个二项分布的卷积。更值得注意的是，根据均值与方差的关系，I(t)的分布可简化为单一的二项分布（当E[I(t)]>Var[I(t)]）或负二项分布（当E[I(t)]<>

在"日新增病例的概率分布"部分，研究得出了具有重要应用价值的结论。假设每日新增病例C(t)在给定I(t)条件下服从二项分布，研究人员推导出C(t)的均值和方差公式。研究发现：当I(t)近似为二项分布时，C(t)也是二项随机变量；当I(t)服从负二项分布时，C(t)则服从负二项分布。这一发现为日新增病例数据的建模提供了理论指导。

这项研究具有多重重要意义：首先，为传染病参数估计建立了更可靠的统计基础，特别是解决了过度离散数据的建模问题；其次，提出的近似方法有效克服了高阶矩方程难以求解的困难；第三，研究结果可直接应用于隐马尔可夫模型，支持疫情实时追踪中的参数迭代更新。值得注意的是，该方法主要适用于疫情初期增长阶段，为后续纳入非线性效应的研究奠定了基础。

研究还提出了若干重要见解：在观测周期较长时，负二项分布更适合建模日新增病例；而当数据采集时间间隔较短时，二项分布更为合适。这一发现对流行病学统计分析中的模型选择具有直接指导意义。此外，研究强调传统的回归方法可能不适用于具有时间依赖性的病例数据，这为改进传染病数据分析方法提供了新思路。