矩形介质波导阵列中导模的近似解析解及其在集成光子学中的应用

本文推荐研究人员针对一维矩形介质波导阵列中导模计算缺乏解析方法的难题，创新性地将单波导分离变量法与多层平面波导解析解相结合，提出了适用于阶跃折射率(step-index)和渐变折射率(graded-index)波导阵列的通用解析模型。该研究通过构建nx(x)和ny(y)等效平面波导系统，实现了对TE/TM超模(supermodes)场分布及传播常数σ的精确描述，计算误差低于0.015%，为集成光子器件设计提供了高效分析工具。

　　

在集成光子学领域，一维矩形介质波导阵列作为光子晶体、激光相控阵等器件的核心结构，其模式特性直接决定器件性能。然而传统数值方法如有限差分时域法(FDTD)计算耗时，耦合模理论(CMT)受限于模式展开假设，而经典解析解仅适用于单根阶跃折射率波导。这种技术瓶颈严重制约了包含数十个波导的复杂系统设计效率，特别是对于渐变折射率(1/cosh²型等)波导阵列，长期以来缺乏有效的解析分析手段。

以色列布劳德工程学院(Braude College of Engineering)的Inon Sarusi和Vladislav Shteeman团队在《Heliyon》发表的研究，通过创新性融合两种经典方法：单波导分离变量近似与多层平面波导精确解，建立了适用于任意数量波导阵列的通用解析模型。该模型将二维折射率分布n(x,y)分解为n_x(x;y)和n_y(x;y)两个等效平面波导系统，通过递归算法求解TE/TM超模场分布X^TE(x)、Y^TM(y)及传播常数β_x^TE、β_y^TM，最终构建完整的阵列模式解（式(6)-(11)）。关键技术包括：场分离假设验证（式(2)-(3)）、一维截面折射率重构（式(4)-(5)）、以及针对阴影区域的一阶修正项Δσ计算（式(8)、(11)）。

研究结果

数值验证

以10个嵌入式方形渐变折射率波导阵列为例（图6），解析解计算的30个超模有效折射率n_eff=σ/(2π/λ₀)与FDTD和CMT结果高度吻合（图9）。基模组（模式1-10）相对误差<0.005%，高阶模组（模式11-30）误差<0.015%（图10）。场分布对比（图11）显示三种方法所得基模E_x^s(x,y)具有相同干涉特征。

光子带结构

解析解成功再现了由三个光子带组成的完整能带结构（图12），与基准方法结果一致，验证了该方法对多波导耦合效应的准确描述能力。计算效率方面，解析法仅需1.5分钟即可完成1278个未知量的求解，显著快于FDTD（10分钟/295750未知量）和CMT（4分钟/30未知量）。

结论与意义

该研究突破了传统解析法仅适用于单根阶跃折射率波导的限制，首次实现对一维矩形波导阵列（包括strip-loaded、rib、inverted rib等结构）中超模特性的完整解析描述。通过严格的数值验证，证实该方法在保持解析解高效性（计算速度提升6倍以上）的同时，精度与数值方法相当。特别值得注意的是，该方法可处理渐变折射率分布（如式(12)的1/cosh²型剖面），这为复杂折射率工程器件的快速优化提供了可能。作者指出，未来可通过解除变量分离假设，将该框架扩展至光束传播分析和二维波导阵列研究，这将为集成光子器件设计开辟新的理论工具。