有限承诺下劳动-闲暇选择的最优契约设计：基于自由边界方法的动态激励与风险分担机制

本文运用随机控制与对偶方法，研究连续时间框架下存在参与约束（Limited Commitment）的委托代理模型。作者通过Cobb-Douglas效用函数刻画代理人（Agent）对消费和闲暇的偏好，将原问题转化为具有自由边界（Free Boundary）的奇异随机控制问题（Singular Stochastic Control），并给出HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman Equation）的显式解。研究创新性地结合了动态规划原理（Dynamic Programming）与变分不等式（Variational Inequality），为劳动经济学中的契约设计（Optimal Contract）提供了新的计算范式。

　　

Highlight

模型构建

我们考虑无限时间视野下的连续时间契约模型。委托方（Principal）为风险中性且采用市场折现率r>0，代理方（Agent）为风险厌恶且采用主观折现率ρ>0。在概率空间(Ω,F,F,P)上，代理人的工资过程遵循几何布朗运动（Geometric Brownian Motion），其效用函数采用消费与闲暇的Cobb-Douglas组合形式。

对偶问题重构

当委托方面临有限承诺约束时，代理人可在期望效用低于外部选项时退出契约。这导致次优问题的产生：委托人在确保代理人持续参与的前提下，通过奇异控制（Singular Control）方法将问题转化为变分不等式求解。引入新变量ν=zw^-γ₁后，HJB方程可简化为包含临界值?的分段函数。

HJB方程解析解

通过构建辅助函数Q(ν)=J(w,z)/w，我们得到自由边界问题的显式解。关键阈值?由闲暇参数L₁, L₂和风险厌恶系数γ₁共同决定。当ν跨越?时，最优闲暇策略会发生结构性转变，这对应于代理人劳动供给决策的临界状态。

最优契约策略

定义调整过程X?^x_t=max(x,ν_B sup_0≤s≤t e^(ρ-r)sW_s^γ₁)，该过程被证明是控制问题的最优解。通过鞅方法（Martingale Method）验证了价值函数J(w,z)的渐近性质，确保了解的适定性。

第一基准（完全承诺）情形

作为对照，我们分析了无参与约束的理想情形。此时委托人可完全控制契约期限，代理人劳动-闲暇选择仅受初始效用承诺约束，形成帕累托最优（Pareto Optimal）配置。

代理人问题重构

将原问题转化为代理人信用额度约束下的效用最大化问题。通过建立银行账户与对冲账户的双账户体系，揭示了工资波动率σ与消费平滑（Consumption Smoothing）之间的动态平衡机制。

数值模拟

图1展示工资过程与对应对偶过程的模拟轨迹，显著标定了ν_t超越阈值?和触及边界ν_B的关键时点。图2则直观呈现了不同工资水平下最优闲暇?与消费c的"钟形"分布特征。

结论

本研究通过自由边界方法，系统解决了劳动-闲暇选择下的动态激励难题。发现：（1）工资波动率σ通过ν_B影响契约可持续性；（2）临界值?决定了闲暇策略的区制转换；（3）对偶变量ν的路径依赖性反映了不完全市场的保险局限。